题目内容
【题目】(Ⅰ)如图1,在等边中,点
是
上的任意一点(不含端点
,
),连结
,以
为边作等边
,并连结
.求证:
.
(Ⅱ)【类比探究】
如图2,在等边中,若点
是
延长线上的任意一点(不含端点
),其它条件不变,则
是否还成立?若成立,请说明理由;若不成立,请写出
,
,
三者间的数量关系,并给予证明.
(Ⅲ)【拓展延伸】
如图3,在等腰中,
,点
是
上的任意一点(不含端点),连结
,以
为边作等腰
,使
,试探究
与
的数量关系,并说明理由.
【答案】(Ⅰ)证明见解析(Ⅱ)结论不成立(Ⅲ)
【解析】试题分析:(Ⅰ)通过证明 ≌
,根据全等三角形的性质可得
,从而证得
;
(Ⅱ)结论不成立,通过证明 ≌
,根据全等三角形的性质可得
,由
,得
;
(Ⅲ),设
,由
为
的外角,可得
,从而可得
,又
为
的外角,可得
,从而有
,继而推得
.
试题解析:(Ⅰ)∵,
都是等边三角形,
∴,
,
,
∴ 即
,
在和
中,
,
≌
,
∴ ,
∴;
(Ⅱ)结论不成立,
理由: ,
都是等边三角形,
∴,
,
,
∴ 即
,
在和
中,
,
≌
,
∴,
∴,即
;
(Ⅲ),理由:
设,
∵,∴
,
∵为
的外角,
∴,
又,∴
,
∴ ,
又为
的外角,
∴ ,
∴,
∴,即
.

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