Question

如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，DA⊥AB，DO及DO的延长线与⊙O分别相交于点E、F，EB与CF相交于点G．

（1）求证：DA=DC；
（2）⊙O的半径为3，DC=4，求CG的长．

Answer 1

解：（1）证明：连接OC，

∵DC是⊙O切线，∴OC⊥DC。
∵OA⊥DA，∴∠DAO=∠DCO=90°。
在Rt△DAO和Rt△DCO中，
∵DO=DO,OA=OC,
∴Rt△DAO≌Rt△DCO（HL）。
∴DA=DC.
（2）连接BF、CE、AC，设AC与OD相交于点M，

由切线长定理得：DC=DA=4，DO⊥AC，
∴DO平分AC。
在Rt△DAO中，AO=3，AD=4，
由勾股定理得：DO=5。
∵由三角形面积公式得：DA•AO=DO•AM，
则AM=。
同理CM=AM=。∴AC=。
∵AB是直径，∴∠ACB=90°。
由勾股定理得：。
∵由圆周角定理得∠GCB=∠GEF，∠GFE=∠GBC，∴△BGC∽△EGF。
∴。
在Rt△OMC中，CM=，OC=3，由勾股定理得：OM=。
在Rt△EMC中，CM=，ME=OE﹣OM=3﹣=，由勾股定理得：CE=。
在Rt△CEF中，EF=6，CE=，由勾股定理得：CF=。
∵CF=CG+GF，，∴CG=CF=×=。

试题分析：（1）连接OC，∠DAO=∠DCO=90°，根据HL证Rt△DAO≌Rt△DCO，根据全等三角形的性质推出即可。
（2）连接BF、CE、AC，由切线长定理求出DC=DA=4，求出DO=5，CM、AM的长，由勾股定理求出BC长，根据△BGC∽△EGF求出，则CG=CF；利用勾股定理求出CF的长，则CG的长度可求得。