Question

【题目】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝18，DB＝DC＝15，点E、F分别在线段BD、CD上，DE＝DF＝5．AE的延长线交边BC于点G，AF交BD于点N、其延长线交BC的延长线于点H．

（1）求证：BG＝CH；

（2）设AD＝x，△ADN的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

（3）联结FG，当△HFG与△ADN相似时，求AD的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）当△HFG与△ADN相似时，AD的长为3或．

【解析】

（1）由AD∥BC知，，结合DB＝DC＝15，DE＝DF＝5知，从而得，据此可得答案；

（2）作DP⊥BC，NQ⊥AD，求得BP＝CP＝9，DP＝12，由知BG＝CH＝2x，BH＝18+2x，根据得，即，再根据知，由三角形的面积公式可得答案；

（3）分∠ADN＝∠FGH和∠ADN＝∠GFH两种情况分别求解可得．

（1）∵AD∥BC，

∴，．

∵DB＝DC＝15，DE＝DF＝5，

∴，

∴．

∴BG＝CH．

（2）过点D作DP⊥BC，过点N作NQ⊥AD，垂足分别为点P、Q．

∵DB＝DC＝15，BC＝18，

∴BP＝CP＝9，DP＝12．

∵，

∴BG＝CH＝2x，

∴BH＝18+2x．

∵AD∥BC，

∴，

∴，

∴，

∴．

∵AD∥BC，

∴∠ADN＝∠DBC，

∴sin∠ADN＝sin∠DBC，

∴，

∴．

∴ （0<x≤9）．

（3）∵AD∥BC，

∴∠DAN＝∠FHG．

（i）当∠ADN＝∠FGH时，

∵∠ADN＝∠DBC，

∴∠DBC＝∠FGH，

∴BD∥FG，

∴，

∴，

∴BG＝6，

∴AD＝3．

（ii）当∠ADN＝∠GFH时，

∵∠ADN＝∠DBC＝∠DCB，

又∵∠AND＝∠FGH，

∴△ADN∽△FCG．

∴，

∴，整理得x2﹣3x﹣29＝0，

解得，或（舍去）．

综上所述，当△HFG与△ADN相似时，AD的长为3或．