Question

如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠CAB=30°，BC=5．过点A作AE⊥AB，且AE=15，连接BE交AC于点P．
（1）求BE的长；
（2）以点A为圆心，AP为半径作⊙A，试判断BE与⊙A是否相切，并说明理由．

Answer 1

分析：由三角函数求得AB的长，再根据勾股定理即可求得BE的长；
由已知可证明得到∠APE=90°，即BE与⊙A相切．

解答：解：（1）∵∠ABC=90°，∠CAB=30°，
∴AB=

BC

tan∠CAB

=5

3

．（2分）
∵∠EAB=90°，AE=15，
∴BE=

AB2+AE2

=10

3

．（负值已舍去）．（3分）

（2）BE与⊙A是相切．（4分）
∵∠EAB=90°，AE=15，AB=5

3

．
∴tan∠E=

AB

AE

=

3

3

，
∴∠E=30°．（5分）
∵∠EAB=90°，∠CAB=30°，
∴∠EAP=60°，
∴∠APE=180°-60°-30°=90°，（6分）
∴BE与⊙A是相切．（7分）

点评：本题考查的是切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．