题目内容
如图,抛物线与直线
交于C,D两点,其中点C在y轴上,点D的坐标为
。点P是y轴右侧的抛物线上一动点,过点P作
轴于点E,交CD于点F.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P的横坐标为m,当m为何值时,以O,C,P,F为顶点的四边形是平行四边形?请说明理由。
(3)若存在点P,使,请直接写出相应的点P的坐标
(1);(2)当m=1或2或
时,以O,C,P,F为顶点的四边形是平行四边形,理由见解析;(3)P(
)或(
).
解析试题分析:(1)由直线经过点C,求出点C的坐标;由抛物线
经过点C,D两点,用待定系数法即可求出抛物线的解析式;(2)因为PF∥CO,所以当PF=CO时,以O,C,P,F为顶点的四边形是平行四边形,分
和
两种情况讨论即可;(3)如图,当点P在CD上方且∠PCF=450时,作PM⊥CD于点M,CN⊥PF于点N,则△PMF∽△CNF,∴
,∴PM=CM=2CF,∴
,又∵
,∴
,解得:
,
(舍去),∴P(
),当点P在CD下方且∠PCF=450时,同理可以求得:另外一点为P(
).
试题解析:(1)∵直线经过点C,∴C(0,2).
∵抛物线经过点C(0,2),D
,
∴,解得
.
∴抛物线的解析式为.
(2)∵点P的横坐标为m且在抛物线上, ∴.
∵PF∥CO,∴当PF=CO时,以O,C,P,F为顶点的四边形是平行四边形.
当时,
,
∴,解得:
.
即当m=1或2时,四边形OCPF是平行四边形.
当时,
,
∴,解得:
(∵点P在y轴右侧的抛物线上,∴舍去).
即当时,四边形OCFP是平行四边形.
综上所述,当m=1或2或时,以O,C,P,F为顶点的四边形是平行四边形.
(3)P()或(
).
考点:1.二次函数综合题;2.单动点问题;3.曲线上点的坐标与方程的关系;4.平行四边形的性质;5.相似三角形的判定和性质;6.分类思想的应用.
