Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连结DE．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）连结OE，若cos∠BAD=

3

5

，BE=

14

3

，求OE的长．

Answer 1

（1）证明：如图1所示，连接OD，BD
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠BDC=90°．
在Rt△BDC中
∵E是BC的中点，∴DE=

1

2

BC；
∴DE=BE；∴∠1=∠2．
∵OD=OB，∴∠3=∠4；
∵∠ABC=∠2+∠4=90°
∴∠ODE=∠1+∠3=90°，
即OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；

（2）∵E是BC的中点，O是AB中点，
∴OE∥AC，
∴∠BAD=∠BOE，
∴cos∠BAD=∠BOE=

3

5

，
设OB=3x，则OE=5x，
∴BE=4x，
∵BE=

14

3

，
∴x=

7

6

，
∴OE=5x=

35

6

．