题目内容

【题目】如图,AC⊙O的直径,BC⊙O的弦,点P⊙O外一点,连接PAPBAB,已知∠PBA=∠C

1)求证:PB⊙O的切线;

2)连接OP,若OP∥BC,且OP=8⊙O的半径为,求BC的长.

【答案】(1)详见解析;(2BC=2

【解析】试题分析:(1)连接OB,由圆周角定理得出∠ABC=90°,得出∠C+∠BAC=90°,再由OA=OB,得出∠BAC=∠OBA,证出∠PBA+∠OBA=90°,即可得出结论;

2)证明△ABC∽△PBO,得出对应边成比例,即可求出BC的长.

试题解析:(1)证明:连接OB,如图所示:

∵AC⊙O的直径,

∴∠ABC=90°

∴∠C+∠BAC=90°

∵OA=OB

∴∠BAC=∠OBA

∵∠PBA=∠C

∴∠PBA+∠OBA=90°

PB⊥OB

∴PB⊙O的切线;

2)解:∵⊙O的半径为2

OB=2AC=4

∵OP∥BC

∴∠C=∠BOP

∵∠ABC=∠PBO=90°

∴△ABC∽△PBO

∴BC=2

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