题目内容

如图,直线y=﹣x+b与双曲线(x>0)交于A、B两点,与x轴、y轴分别交于E、F两点,连接OA、OB,若SAOB=SOBF+SOAE,则b=  

试题分析:根据直线解析式求出点E、F的坐标,过点O作OM⊥AB于点M,设A(x1,y1)、B(x2,y2),联立两函数解析式求解可得y1=x2,y2=x1,从而判断出点A、B关于OM对称,并求出点A的坐标,然后代入双曲线解析式计算即可得解.
解:令y=0,则﹣x+b=0,
解得x=b,
令x=0,则y=b,
所以,点E(b,0)、F(0,b),
所以,OE=OF,
过点O作OM⊥AB于点M,则ME=MF,

设点A(x1,y1)、B(x2,y2),
联立
消掉y得,x2﹣bx+1=0,
根据根与系数的关系,x1•x2=1,
所以y1•y2=1,
所以y1=x2,y2=x1
所以OA=OB,
所以AM=BM(等腰三角形三线合一),
∵SAOB=SOBF+SOAE
∴FB=BM=AM=AE,
所以点A(b,b),
∵点A在双曲线y=上,
b=1,
解得b=
故答案为:
点评:本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,联立两函数解析式求解得到OA=OB,然后根据三角形的面积求出点A、B、M是线段EF的四等分点,并求出点A的坐标是解题的关键.
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