题目内容
如图，四边形ABCD中，AD＝CD，∠DAB＝∠ACB＝90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E．
（1）求证：AB·AF＝CB·CD；
（2）已知AB＝15 cm，BC＝9 cm，P是射线DE上的动点．设DP＝x cm（
），四边形BCDP的面积为y cm2．
①求y关于x的函数关系式；
②当x为何值时，△PBC的周长最小，并求出此时y的值．
（1）证明：∵
，
，∴DE垂直平分AC，
∴
,∠DFA＝∠DFC ＝90°，∠DAF＝∠DCF．
∵∠DAB＝∠DAF＋∠CAB＝90°，∠CAB＋∠B＝90°，∴∠DCF＝∠DAF＝∠B．
在Rt△DCF和Rt△ABC中，∠DFC＝∠ACB＝90°，∠DCF＝∠B，
∴△DCF∽△ABC．
∴
，即
．∴AB·AF＝CB·CD．
（2）解：①∵AB＝15，BC＝9，∠ACB＝90°，
∴
，∴
．
∴
（
）．
②∵BC＝9（定值），∴△PBC的周长最小，就是PB＋PC最小．由（1）知，点C关于直线DE的对称点是点A，∴PB+PC＝PB+PA，故只要求PB+PA最小．
显然当P、A、B三点共线时PB+PA最小．此时DP＝DE，PB+PA＝AB．
由（1），
，
，得△DAF∽△ABC．
EF∥BC，得
，EF=
．
∴AF∶BC＝AD∶AB，即6∶9＝AD∶15．∴AD＝10．
Rt△ADF中，AD＝10，AF＝6，∴DF＝8．
∴
．
∴当
时，△PBC的周长最小，此时
．
【解析】（1）根据已知可得到∠BAC=∠ADF和∠DFA=∠ACB，从而利用有两对角对应相等的两三角形相似，得到△DFA∽△ACB，根据相似三角形的对应边成比例及AD=CD即可推出AB•AF=CB•CD；
（2）①根据勾股定理求出AC，求出CF的长，得出四边形BCDP是梯形，根据梯形的面积公式得出即可；②求出CP+BP最小时，△BCP的周长最小，根据对称得出当P到E时，△PBC的周长最小，证△DAE∽△ACB，得出比例式，求出DE的值即可．
如图，四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直平分于点O，设AC=2a，BD=2b，请推导这个四边形的性质．（至少3条）
如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，过点P作直线交AD于点E，交BC于点F．若PE=PF，且AP+AE=CP+CF．
如图，四边形ABCD，AB=AD=2，BC=3，CD=1，∠A=90°，求∠ADC的度数．
如图，四边形ABCD为正方形，E是BC的延长线上的一点，且AC=CE，求∠DAE的度数．