题目内容
【题目】如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；、②3a+c＞0；③当x＞0时，y随x的增大而减小；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3；⑤方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；其中结论正确的个数是（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【答案】B
【解析】
利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；由对称轴方程得到b＝﹣2a，然后根据x＝﹣1时函数值为0可得到3a+c＝0，则可对②进行判断；根据二次函数的性质对③进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对⑤进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断．
解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2，所以①正确；
∵x＝﹣
＝1，即b＝﹣2a，
而x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0，所以②错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，开口向下，
∴当x＞1时，y随x增大而减小，所以③错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
而点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，所以⑤正确；
∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），
∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④正确.
故选：B．
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