Question

【题目】已知O为直线MN上一点，OP⊥MN，在等腰Rt△ABO中，∠BAO=90°，AC∥OP交OM于C，D为OB的中点，DE⊥DC交MN于E．

（1）如图1，若点B在OP上，则
①ACOE（填“＜”，“=”或“＞”）；
②线段CA、CO、CD满足的等量关系式是；
（2）将图1中的等腰Rt△ABO绕O点顺时针旋转α（0°＜α＜45°），如图2，那么（1）中的结论②是否成立？请说明理由；
（3）将图1中的等腰Rt△ABO绕O点顺时针旋转α（45°＜α＜90°），请你在图3中画出图形，并直接写出线段CA、CO、CD满足的等量关系式 ．

Answer 1

【答案】
（1）=；AC2+CO2=CD2
（2）

如图2，（1）中的结论②不成立，理由是：

连接AD，延长CD交OP于F，连接EF，

∵AB=AO，D为OB的中点，

∴AD⊥OB，

∴∠ADO=90°，

∵∠CDE=90°，

∴∠ADO=∠CDE，

∴∠ADO﹣∠CDO=∠CDE﹣∠CDO，

即∠ADC=∠EDO，

∵∠ADO=∠ACO=90°，

∴∠ADO+∠ACO=180°，

∴A、D、O、C四点共圆，

∴∠ACD=∠AOB，

同理得：∠EFO=∠EDO，

∴∠EFO=∠AOC，

∵△ABO是等腰直角三角形，

∴∠AOB=45°，

∴∠DCO=45°，

∴△COF和△CDE是等腰直角三角形，

∴OC=OF，

∵∠ACO=∠EOF=90°，

∴△ACO≌△EOF，

∴OE=AC，AO=EF，

∴AC2+OC2=FO2+OE2=EF2，

Rt△DEF中，EF＞DE=DC，

∴AC2+OC2＞DC2，

所以（1）中的结论②不成立

（3）OC﹣AC= CD
【解析】解：（1）①AC=OE，
理由：如图1，∵在等腰Rt△ABO中，∠BAO=90°，
∴∠ABO=∠AOB=45°，
∵OP⊥MN，
∴∠COP=90°，
∴∠AOC=45°，
∵AC∥OP，
∴∠CAO=∠AOB=45°，∠ACO=∠POE=90°，
∴AC=OC，
连接AD，

∵BD=OD，
∴AD=OD，AD⊥OB，
∴AD∥OC，
∴四边形ADOC是正方形，
∴∠DCO=45°，
∴AC=OD，
∴∠DEO=45°，
∴CD=DE，
∴OC=OE，
∴AC=OE；
②在Rt△CDO中，
∵CD2=OC2+OD2 ，
∴CD2=AC2+OC2；
所以答案是：AC2+CO2=CD2；
（3.）如图3，结论：OC﹣CA= CD，
理由是：连接AD，则AD=OD，

同理：∠ADC=∠EDO，
∵∠CAB+∠CAO=∠CAO+∠AOC=90°，
∴∠CAB=∠AOC，
∵∠DAB=∠AOD=45°，
∴∠DAB﹣∠CAB=∠AOD﹣∠AOC，
即∠DAC=∠DOE，
∴△ACD≌△OED，
∴AC=OE，CD=DE，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CE2=2CD2 ，
∴（OC﹣OE）2=（OC﹣AC）2=2CD2 ，
∴OC﹣AC= CD，
所以答案是：OC﹣AC= CD．
【考点精析】解答此题的关键在于理解等腰直角三角形的相关知识，掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°，以及对旋转的性质的理解，了解①旋转后对应的线段长短不变，旋转角度大小不变；②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变；③旋转后物体或图形不变，只是位置变了．