Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，O为原点，平行四边形ABCD的边BC在x轴上，D点在y轴上，C点坐标为（2，0），BC=6，∠BCD=60°，点E是AB上一点，AE=3EB，⊙P过D，O，C三点，抛物线y=ax2+bx+c过点D，B，C三点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）说明ED是⊙P的切线，若将△ADE绕点D逆时针旋转90°，E点的对应点E′会落在抛物线上吗？请说明理由；
（3）若点M为此抛物线的顶点，平面上是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵C点坐标为（2，0），BC=6，

∴B（﹣4，0），

在Rt△OCD中，∵tan∠OCD= ，

∴OD=2tan60°=2 ，

∴D（0，2 ），

设抛物线的解析式为y=（x+4）（x﹣2），

把D（0，2 ）代入得a4（﹣2）=2 ，

解得：a=﹣ ，

∴抛物线的解析式为y=﹣ （x+4）（x﹣2）=﹣ x2﹣ x+2

（2）

解：在Rt△OCD中，CD=2OC=4，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD=4，AB∥CD，∠A=∠BCD=60°，AD=BC=6，

∵AE=3BE，

∴AE=3，

∴ ， = = ，

∴ ，

∵∠DAE=∠DCB，

∴△AED∽△DCB，

∴∠ADE=∠CDO，

∵∠ADE+∠ODE=90°，

∴∠CDO+∠ODE=90°，

∴CD⊥DE，

∵∠DOC=90°，

∴CD为⊙P的直径，

∴ED是⊙P的切线；

E点的对应点E′不会落在抛物线上，

理由：∵△AED∽△COD，

∴ ，

即 = ，

解得：DE=3 ，

∵∠CDE=90°，DE＞DC，

∴将△ADE绕点D逆时针旋转90°，E点的对应点在射线DC上，而点D，C在抛物线上，

∴点E′不能在抛物线上

（3）

解：存在，∵y=﹣ x2﹣ x+2 =﹣ （x+1）2+ ，

∴M（﹣1， ），

∵B（﹣4，0），D（0，2 ），

如图，当BM为平行四边形BDMN的对角线时，

点D向左平移4个单位，再向下平移2 个单位得到B，

则点M（﹣1， ）向左平移4个单位，再向下平移2 个单位得到N1（﹣5， ）；

当DM为平行四边形BDMN的对角线时，

点B向右平移3个单位，再向上平移 个单位得到D，

则点M（﹣1， ）向右平移4个单位，再向上平移2 个单位得到N2（3， ）；

当BD为平行四边形BDMN的对角线时，

点M向右平移1个单位，再向下平移 个单位得到D，

则点B（﹣4，0）向右平移1个单位，再向下平移 个单位得到N3（﹣3，﹣ ）；

综上所述，以点B，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形时，点N的坐标为（﹣5， ）或（3， ）或（﹣3，﹣ ）．

【解析】（1）解直角三角形得到D（0，2 ），设抛物线的解析式为y=（x+4）（x﹣2），把D（0，2 ）即可得到结论；（2）根据平行四边形的性质得到AB=CD=4，AB∥CD，∠A=∠BCD=60°，AD=BC=6，根据相似三角形的性质得到∠ADE=∠CDO，于是得到CD为⊙P的直径，根据切线的判定定理得到ED是⊙P的切线；E点的对应点E′不会落在抛物线上，根据相似三角形的想知道的DE=3 ，根据旋转的想知道的E点的对应点在射线DC上，而点D，C在抛物线上，于是得到点E′不能在抛物线上；（3）根据二次函数的解析式得到M（﹣1， ），由B（﹣4，0），D（0，2 ），当BM为平行四边形BDMN的对角线时，当DM为平行四边形BDMN的对角线时，当BD为平行四边形BDMN的对角线时，根据平移的性质即可得到结论．
【考点精析】掌握平行四边形的性质和解直角三角形是解答本题的根本，需要知道平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分；解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)．