题目内容

已知关于x的方程x2-(m-2)x-
m24
=0

(1)求证:无论m取什么实数,这个方程总有两个相异的实数根;
(2)若这个方程的两个实数根x1,x2满足|x2|=|x1|+2,求m的值及相应的x1、x2
分析:(1)根据方程根的判别式判断根的情况,只要证明判别式△的值恒为正值即可;
(2)|x2|=|x1|+2,即|x2|-|x1|=2,两边平方后再配方得(x1+x22-4|x1x2|=4,再根据根与系数的关系用m表示出两根的和与两根的积,代入得到关于m的方程,即可求得m的值.
解答:解:(1)∵a=1,b=-(m-2),c=-
m2
4

∴△=b2-4ac=[-(m-2)2]-4×1×(-
m2
4

=2m2-4m+4=2(m-1)2+2>0,
∴方程总有两个不相等的实数根;

(2)∵a=1,b=-(m-2),c=-
m2
4

∴x1+x2=m-2,
∵方程总有两个的实数根
∴x1•x2=-
m2
4
≤0,
∴x1与x2异号或有一个为0,由|x2|=|x1|+2,|x2|-|x1|=2,
当x1≥0,x2<0时,-x2-x1=2,即-(m-2)=2,解得m=0,
此时,方程为x2+2x=0,解得x1=0,x2=-2;
当x1≤0,x2>0时,x2+x1=m-2=2,解得m=4,
当m=4时,x2-2x-4=0,
∴x1=1-
5
,x2=1+
5
点评:总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
(1)△>0?方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0?方程有两个相等的实数根;
(3)△<0?方程没有实数根.
此题不仅考查了根的判别式的应用,还应用了根与系数的关系以及配方法的运用,增根的判断.
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