题目内容

如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是平行四边形,AD=6,若OA、OB的长是关于x的一元二次方程的两个根,且OA>OB.

(1)求OA、OB的长;
(2)若点E为x轴上的点,且S△AOE,求经过D、E两点的直线解析式,并判断△AOE与△AOD是否相似;
(3)若点M在平面直角坐标系内,则在直线AB上是否存在点F,使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形?若存在,直接写出F点的坐标,若不存在,请说明理由.
(1)OA=4,OB=3;(2),相似;
(3)(-3,0),(3,8),(),(

试题分析:(1)求出一元二次方程的两个根,再结合OA>OB即可得到结果;
(2)先根据三角形的面积求出点E的坐标,并根据平行四边形的对边相等的性质求出点D的坐标,然后利用待定系数法求得直线的解析式;分别求出两三角形夹直角的两对应边的比,如果相等,则两三角形相似,否则不相似;
(3)根据菱形的性质,分AC与AF是邻边并且点F在射线AB上与射线BA上两种情况,以及AC与AF分别是对角线的情况分别进行求解计算.
(1)解一元二次方程
∵OA>OB
∴OA=4,OB=3;
(2)设E(x,0),由题意得

解得
∴E(,0)或(,0),
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴点D的坐标是(6,4)
设经过D、E两点的直线的解析式为
若图象过点(,0),(6,4)
,解得
此时函数解析式为
若图象过点(,0),(6,4)
,解得
此时函数解析式为
在△AOE与△DAO中,


又∵∠AOE=∠OAD=90°
∴△AOE∽△DAO;
(3)∵OB=OC=3,
∴AO平分∠BAC,
①AC、AF是邻边,点F在射线AB上时,AF=AC=5,
所以点F与B重合,
即F(-3,0);
②AC、AF是邻边,点F在射线BA上时,M应在直线AD上,且FC垂直平分AM,
点F(3,8);
③AC是对角线时,作AC垂直平分线L,AC解析式为
则直线L过(,2),且k值为(平面内互相垂直的两条直线k值乘积为-1),
∴L解析式为,联立直线L与直线AB求交点,
∴F();
④AF是对角线时,过C做AB垂线,垂足为N,根据等积法求出,勾股定理得
做A关于N的对称点即为F,
过F做y轴垂线,垂足为G,
∴F();
综上所述,满足条件的点有四个:(-3,0),(3,8),(),().
点评:解答本题的关键是要注意(3)中求点F的坐标要根据AC与AF是邻边与对角线的情况进行讨论,不要漏解.
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