题目内容
【题目】如图:菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC= ,BD=
,动点P在线段BD上从点B向点D运动,PF⊥AB于点F,PG⊥BC于点G,四边形QEDH与四边形PFBG关于点O中心对称,设菱形ABCD被这两个四边形盖住部分的面积为S1,未被盖住部分的面积为S2,
,若S1=S2,则
的值是( )
A. B.
或
C.
D. 不存在
【答案】A
【解析】
根据对称性确定E、F、G、H都在菱形的边上,由于点P在BO上与点P在OD上求S1和S2的方法不同,因此需分情况讨论,由S1=S2和S1+S2=8可以求出S1=S2=4
.然后在两种情况下分别建立关于x的方程,解方程,结合不同情况下x的范围确定x的值.
①当点P在BO上,0<x≤2时,如图1所示.
∵四边形ABCD是菱形,AC=4,BD=4,
∴AC⊥BD,BO=BD=2,AO=
AC=2
,
且S菱形ABCD=BDAC=8
.
∴tan∠ABO==
.
∴∠ABO=60°.
在Rt△BFP中,
∵∠BFP=90°,∠FBP=60°,BP=x,
∴sin∠FBP=.
∴FP=x.
∴BF=.
∵四边形PFBG关于BD对称,
四边形QEDH与四边形PEBG关于AC对称,
∴S△BFP=S△BGP=S△DEQ=S△DHQ.
∴S1=4S△BFP
=4××
x
=x2.
∴S2=8-
x2.
②当点P在OD上,2<x≤4时,如图2所示.
∵AB=4,BF=,
∴AF=AB-BF=4.
在Rt△AFM中,
∵∠AFM=90°,∠FAM=30°,AF=4-.
∴tan∠FAM=.
∴FM=(4-
).
∴S△AFM=AFFM
=(4-
)
(4-
)
=(4-
)2.
∵四边形PFBG关于BD对称,
四边形QEDH与四边形FPBG关于AC对称,
∴S△AFM=S△AEM=S△CHN=S△CGN.
∴S2=4S△AFM
=4×(4-
)2
=(x-8)2.
∴S1=8-S2=8
-
(x-8)2.
综上所述:
当0<x≤2时,S1=x
-
x2;
当2<x≤4时,S1=8-
(x-8)2,S2=
(x-8)2.
当点P在BO上时,0<x≤2.
∵S1=S2,S1+S2=8,
∴S1=4.
∴S1=x2=4
.
解得:x1=2,x2=-2
.
∵2>2,-2
<0,
∴当点P在BO上时,S1=S2的情况不存在.
当点P在OD上时,2<x≤4.
∵S1=S2,S1+S2=8,
∴S2=4.
∴S2=(x-8)2=4
.
解得:x1=8+2,x2=8-2
.
∵8+2>4,2<8-2
<4,
∴x=8-2.
综上所述:若S1=S2,则x的值为8-2.
故选A.

【题目】某校八年级所有女生的身高统计数据如下表,请回答下列问题:
(1) 这个学校八年级共有多少女生?
(2) 身高在 到
的女生有多少人?
(3) 一女生的身高恰好为 ,哪一组包含这个身高?这一组出现的频数、频率各是多少?