如图.在平行四边形ABCD中.过点A作AE⊥BC.垂足为E.连接DE.F为线段DE上一点.且∠AFE=∠B.(1)求证:△ADF∽△DEC,(2)若AB=8.AD=6.AF=4.求AE的长．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B.

（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．

(1)详见解析；（2）6.

解析试题分析：（1）利用平行四边形的对边互相平行，可证得∠ADE=∠DEC, ∠C+∠B=180°,再利用等角的补角相等，可证得∠C=∠AFD,根据相似三角形的判定：有两个角分别相等的两个三角形相似.即可证明△ADF∽△DEC.(2)由（1）可知△ADF∽△DEC，根据相似三角形的性质，可列比例式,可求出DE的值，在直角三角形ADE中，根据勾股定理可求出AE的值.
试题解析：（8分）（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．
∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C．
在△ADF与△DEC中，

∴△ADF∽△DEC．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=8．
由（1）知△ADF∽△DEC，
∴，∴DE===12．
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE===6．
考点：1、相似三角形的判定；2、相似三角形的性质.

练习册系列答案

相关题目

提出问题：如图①,在四边形ABCD中,点E、F是AD的n等分点中最中间2个,点G、H是BC的n等分点中最中间2个,（其中n为奇数）,连接EG、FH,那么S_{四边形EFHG}与S_{四边形ABCD}之间有什么关系呢？

探究发现：为了解决这个问题,我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：
(1)如图②：四边形ABCD中,点E、F是AD的3等分点,点G、H是BC的3等分点,连接EG、FH,那么S_{四边形EFHG}与S_{四边形ABCD}之间有什么关系呢？
如图③,连接EH、BE、DH,

因为△EGH与△EBH高相等,底的比是1:2,
所以S_△_EGH=S_△_EBH
因为△EFH与△DEH高相等,底的比是1:2,
所以S_△_EFH=S_△_DEH
所以S_△_EGH+S_△_EFH=S_△_EBH +S_△_DEH
即S_{四边形EFHG}=S_{四边形EBHD}
连接BD,
因为△DBE与△ABD高相等,底的比是2：3,
所以S_△_DBE=S_△_ABD
因为△BDH与△BCD高相等,底的比是2：3,
所以S_△_BDH=S_△_BCD
所以S_△_DBE+S_△_BDH=S_△_ABD+S_△_BCD=(S_△_ABD+S_△_BCD)
=S_{四边形ABCD}
即S_{四边形EBHD}=S_{四边形ABCD}
所以S_{四边形EFHG}=S_{四边形EBHD}=×S_{四边形ABCD}=S_{四边形ABCD}
（1）如图④：四边形ABCD中,点E、F是AD的5等分点中最中间2个,点G、H是BC的5等分点中最中间2个,连接EG、FH,猜想：S_{四边形EFHG}与S_{四边形ABCD}之间有什么关系呢
验证你的猜想：

（2）问题解决：如图①,在四边形ABCD中,点E、F是AD的n等分点中最中间2个,点G、H是BC的n等分点中最中间2个,连接EG、FH,（其中n为奇数）
那么S_{四边形EFHG}与S_{四边形ABCD}之间的关系为：                            （不必写出求解过程）

如图,在△和△中,,为线段上一点,且．
求证：．

（如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）．

（1）若△CEF与△ABC相似．
①当AC=BC=2时，AD的长为_________；
②当AC=3，BC=4时，AD的长为_________；
（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？请说明理由．

如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连接DP交AC于点Q．

（1）试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ；
（2）当点P在AB上运动到什么位置时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的；
（3）若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P运动到什么位置时，△ADQ恰为等腰三角形．

已知：如图，在△ABC中，AB="AC=" 5，BC= 8，D，E分别为BC，AB边上一点，∠ADE=∠C．

（1）求证：△BDE∽△CAD；
（2）若CD=2，求BE的长．

已知：如图，在菱形ABCD中，E为BC边上一点，∠AED=∠B．

（1）求证：△ABE∽△DEA；
（2）若AB=4，求AE•DE的值．

如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB＝10cm，BC＝12cm．点E，F，G分别从A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm／s，点G的运动速度为1.5cm／s．当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB'F，设点E，F，G运动的时间为t（单位：s）．

（1）当t＝　　 s时，四边形EBFB'为正方形；
（2）若以点E，B，F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；
（3）是否存在实数t，使得点B'与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

如图，△ABC三个定点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣1，1），C（﹣3，2）．

（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A₁B₁C₁；
（2）以原点O为位似中心，将△A₁B₁C₁放大为原来的2倍，得到△A₂B₂C₂，请在第三象限内画出△A₂B₂C₂，并求出S_△_A1B1C1：S_△_A2B2C2的值．

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