题目内容
【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(﹣6,0),B(2,0),C(0,﹣6).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P为第三象限内抛物线上的一点,设△PAC的面积为S,求S的最大值并求出此时点P的坐标;
(3)设抛物线的顶点为D,DE⊥x轴于点E,在y轴上是否存在点M,使得△ADM是直角三角形?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)
解:∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(﹣6,0),B(2,0),C(0,﹣6),
∴ ,解得 .
∴抛物线的解析式为:y= x2+2x﹣6
(2)
解:如图,过点P作x轴的垂线,交AC于点N.
设直线AC的解析式为y=kx+m,由题意,得
,解得 ,
∴直线AC的解析式为:y=﹣x﹣6.
设P点坐标为(x, x2+2x﹣6),则点N的坐标为(x,﹣x﹣6),
∴PN=PE﹣NE=﹣( x2+2x﹣6)+(﹣x﹣6)=﹣ x2﹣3x.
∵S△PAC=S△PAN+S△PCN,
∴S= PNOA= ×6(﹣ x2﹣3x)=﹣ (x+3)2+ ,
∴当x=﹣3时,S有最大值 ,此时点P的坐标为(﹣3,﹣ )
(3)
解:在y轴上是存在点M,能够使得△ADM是直角三角形.理由如下:
∵y= x2+2x﹣6= (x+2)2﹣8,
∴顶点D的坐标为(﹣2,﹣8),
∵A(﹣6,0),
∴AD2=(﹣2+6)2+(﹣8﹣0)2=80.
设点M的坐标为(0,t),分三种情况进行讨论:
①当A为直角顶点时,如图3①,
由勾股定理,得AM2+AD2=DM2,
即(0+6)2+(t﹣0)2+80=(0+2)2+(t+8)2,
解得t=3,
所以点M的坐标为(0,3);
②当D为直角顶点时,如图3②,
由勾股定理,得DM2+AD2=AM2,
即(0+2)2+(t+8)2+80=(0+6)2+(t﹣0)2,
解得t=﹣7,
所以点M的坐标为(0,﹣7);
③当M为直角顶点时,如图3③,
由勾股定理,得AM2+DM2=AD2,
即(0+6)2+(t﹣0)2+(0+2)2+(t+8)2=80,
解得t=﹣2或﹣6,
所以点M的坐标为(0,﹣2)或(0,﹣6);
综上可知,在y轴上存在点M,能够使得△ADM是直角三角形,此时点M的坐标为(0,3)或(0,﹣7)或(0,﹣2)或(0,﹣6)
【解析】(1)已知抛物线上的三点坐标,利用待定系数法可求出该二次函数的解析式;(2)过点P作x轴的垂线,交AC于点N,先运用待定系数法求出直线AC的解析式,设P点坐标为(x, x2+2x﹣6),根据AC的解析式表示出点N的坐标,再根据S△PAC=S△PAN+S△PCN就可以表示出△PAC的面积,运用顶点式就可以求出结论;(3)分三种情况进行讨论:①以A为直角顶点;②以D为直角顶点;③以M为直角顶点;设点M的坐标为(0,t),根据勾股定理列出方程,求出t的值即可.
【题目】在读书月活动中,某校号召全体师生积极捐书,为了解所捐书籍的种类,图书管理员对部分书籍进行了抽样调查,根据调查数据绘制了如下不完整的统计图表.请你根据统计图表所提供的信息回答下面问题:
某校师生捐书种类情况统计表
种类 | 频数 | 百分比 |
A.科普类 | 12 | n |
B.文学类 | 14 | 35% |
C.艺术类 | m | 20% |
D.其它类 | 6 | 15% |
(1)统计表中的m= ,n= ;
(2)补全条形统计图;
(3)本次活动师生共捐书2000本,请估计有多少本科普类图书?