题目内容
【题目】将一副直角三角板按如图1 摆放在直线AD 上(直角三角板OBC 和直角三角板MON,∠OBC=90°,∠BOC=45°,∠MON=90°,∠MNO=30°),保持三角板OBC 不动,将三角板MON 绕点O 以每秒8°的速度顺时针方向旋转t 秒.
(1)如图2,当t= 秒时,OM 平分∠AOC,此时∠NOC﹣∠AOM= ;
(2)继续旋转三角板MON,如图3,使得OM、ON 同时在直线OC 的右侧,猜想∠NOC与∠AOM 有怎样的数量关系?并说明理由(数量关系中不能含t);
(3)直线AD 的位置不变,若在三角板MON 开始顺时针旋转的同时,另一个三角板OBC也绕点O 以每秒2°的速度顺时针旋转,当OM 旋转至射线OD 上时,两个三角板同时停止运动.
①当t= 秒时,∠MOC=15°;
②请直接写出在旋转过程中,∠NOC 与∠AOM 的数量关系(数量关系中不能含t).
【答案】(1) t=2.8125,45;(2)∠NOC﹣∠AOM=45°;(3)①5或10;②∠NOC﹣∠AOM=15°.
【解析】
(1)根据角平分线的定义得到∠AOM=∠AOC=22.5°,于是得到t=2.8125,由于∠MON=90°,∠MOC=22.5°,即可得到∠NOC﹣∠AOM=∠MON﹣∠MOC﹣∠AOM=45°;
(2)根据题意得∠AON=90°+8t,求得∠NOC=90°+8t﹣45°=45°+8t,即可得到结论;
(3)①根据题意得∠AOB=2t,∠AOM=8t,求得∠AOC=45°+2t,列方程即可得到结论;
②根据角的和差即可得到结论.
(1)∵∠AOC=45°,OM平分∠AOC,∴∠AOM=∠AOC=22.5°,∴t=2.8125.
∵∠MON=90°,∠MOC=22.5°,∴∠NOC﹣∠AOM=∠MON﹣∠MOC﹣∠AOM=45°;
(2)∠NOC﹣∠AOM=45°.
∵∠AON=90°+8t,∴∠NOC=90°+8t﹣45°=45°+8t.
∵∠AOM=8t,∴∠NOC﹣∠AOM=45°;
(3)①∵∠AOB=2t,∠AOM=8t,∴∠AOC=45°+2t,∴45°+2t﹣8t=15°或8t﹣45°﹣2t=15°.
解得:t=5或10.
②∠NOC﹣∠AOM=15°.
∵∠AOB=2t,∠AOM=8t,∠MON=90°,∠BOC=45°.
∵∠AON=90°+∠AOM=90°+8t,∠AOC=∠AOB+∠BOC=45°+2t,∴∠NOC=∠AON﹣∠AOC=90°+8t﹣45°﹣2t=45°+6t,∴∠NOC﹣∠AOM=15°.