题目内容

【题目】如图,将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1B1C1的位置,ABA1C1相交于点D,ACA1C1、BC1分别交于点E. F.

(1)求证:△BCF≌△BA1D.

(2)当∠C=α度时,判定四边形A1BCE的形状并说明理由。

【答案】(1)证明见解析(2)四边形A1BCE是菱形

【解析】试题分析:(1)根据等腰三角形的性质得到AB=BC∠A=∠C,由旋转的性质得到A1B=AB=BC∠A=∠A1=∠C∠A1BD=∠CBC1,根据全等三角形的判定定理得到△BCF≌△BA1D;(2)由旋转的性质得到∠A1=∠A,根据平角的定义得到∠DEC=180°﹣α,根据四边形的内角和得到∠ABC=360°﹣∠A1﹣∠C﹣∠A1EC=180°﹣α,证得四边形A1BCE是平行四边形,由于A1B=BC,即可得到四边形A1BCE是菱形.

试题解析:(1)证明:∵△ABC是等腰三角形,

∴AB=BC∠A=∠C

将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1B1C1的位置,

∴A1B=AB=BC∠A=∠A1=∠C∠A1BD=∠CBC1

△BCF△BA1D中,

∴△BCF≌△BA1D

2)解:四边形A1BCE是菱形,

将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1B1C1的位置,

∴∠A1=∠A

∵∠ADE=∠A1DB

∴∠AED=∠A1BD=α

∴∠DEC=180°﹣α

∵∠C=α

∴∠A1

∴∠ABC=360°﹣∠A1﹣∠C﹣∠A1EC=180°﹣α

∴∠A1=∠C∠A1BC=∠AEC

四边形A1BCE是平行四边形,

∴A1B=BC

四边形A1BCE是菱形.

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