题目内容
【题目】如图，AB为⊙O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为弧BC的中点，作DE⊥AC，垂足为AC的延长线上的点E，连接DA，DB．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）试探究线段AB，BD，CE之间的数量关系，并说明理由；
（3）延长ED交AB的延长线于F，若AD=DF，DE=
，求⊙O的半径；
【答案】(1)见解析;(2) BD2=CEAB ;(3)2.
【解析】分析：(1)、连接OD，根据弧的中点以及OA=OD得出OD和AE平行，从而得出切线；(2)、根据AB为⊙O的直径，DE⊥AE得出∠E=∠ADB，根据四点共圆得出∠ECD=∠4，从而得出△ECD和△DBA相似，从而得出答案；(3)、根据AD=DF得出∠1=∠F=∠3，根据△ADF的内角和得出∠1=30°，∠4=60°=∠ECD，根据Rt△ECD的三角函数得出CE、BD的长度，然后根据(2)的结论得出答案．
详解：（1）证明：连接OD，∵D为弧BC的中点，∴∠1=∠2∵OA=OD，∴∠1=∠3，
∴∠3=∠2，∴OD∥AE， ∵DE⊥AE∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；
（2）解：数量关系是BD2=CEAB， 连接CD，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵DE⊥AE∴∠E=90°，∴∠E=∠ADB，
∵A，B，D，C四点共圆，∴∠ECD=∠4，∴△ECD∽△DBA，∴
，
∵D为弧BC的中点，∴CD=BD，∴
∴BD2=CEAB；
（3）解：∵OD⊥DE， ∴∠ODF=90°，∵AD=DF，∴∠1=∠F=∠3 ，
在△ADF中，∠1+∠F+∠3+∠ODF=180°，∴∠1=30°，∴∠4=60°=∠ECD，
在Rt△ECD中tan∠ECD=
，sin∠ECD=
，∴CE=
，CD=
，∴CE=1，BD=CD=
，
由BD2=CEAB得(2)2=1×AB， ∴AB=4， ∴⊙O的半径是2．
【题目】如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BC＝4cm，点P在△ABC的边上沿路径B→A→C移动，过点P作PD⊥BC于点D，设BD＝xcm，△BDP的面积为ycm2（当点P与点B或点C重合时，y的值为0）．
小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）自变量x的取值范围是______；
（2）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：
x/cm | 0 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
y/cm2 | 0 |
| m |
| 2 |
|
| n | 0 |
请直接写出m＝_____，n＝_____；
（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（4）结合画出的函数图象，解决问题：当△BDP的面积为1cm2时，BD的长度约为_____cm．（数值保留一位小数）
