Question

如图，在四边形ABCD中，∠B=90º，DE∥AB，DE交BC于 ，交AC于F，DE=BC，∠CDE=∠ACB="30" º.

（1）求证：△FCD是等腰三角形
（2）若AB=4，求CD的长。

Answer 1

（1）先根据平行线的性质得到∠DEC=90°，即得∠DCE的度数，从而可得∠DCF的度数，即可得到结果；（2）8

试题分析：（1）先根据平行线的性质得到∠DEC=90°，即得∠DCE的度数，从而可得∠DCF的度数，即可得到结果；
（2）先根据“ASA”证得△ACB≌△CDE，即得AC=CD，再根据含30°角的直角三角形的性质即得结果.
（1）∵DE//AB，∠B=90°，
∴∠DEC=90°
∴∠DCE=90°-∠CDE="60°."                     
∴∠DCF=∠DCE -∠ACB=30°.
∴∠CDE=∠DCF.    
∴DF=CF.
∴△FCD是等腰三角形；
（2）在△ACB和△CDE中

∴△ACB≌△CDE. 
∴AC=CD.
在Rt△ABC 中，∠B=90°，∠ACB=30°，AB=4
∴AC=2AB=8.     
∴CD=8. 
点评：本题知识点较多，综合性较强，难度不大，是中考常见题，需特别注意.