题目内容
【题目】如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AE⊥BC于点E,∠ADC的平分线交AE于点O,以点O为圆心,OA为半径的圆经过点B,交BC于另一点F.
(1)求证:CD与⊙O相切;
(2)若BF=24,OE=5,求tan∠ABC的值.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】试题分析:(1)过点O作OG⊥DC,垂足为G.先证明∠OAD=90°,从而得到∠OAD=∠OGD=90°,然后利用AAS可证明△ADO≌△GDO,则OA=OG=r,则DC是⊙O的切线;
(2)连接OF,依据垂径定理可知BE=EF=12,在Rt△OEF中,依据勾股定理可知求得OF=13,然后可得到AE的长,最后在Rt△ABE中,利用锐角三角函数的定义求解即可.
试题解析:
(1)证明:
过点O作OG⊥DC,垂足为G.
∵AD∥BC,AE⊥BC于E,
∴OA⊥AD.
∴∠OAD=∠OGD=90°.
在△ADO和△GDO中
,
∴△ADO≌△GDO.
∴OA=OG.
∴DC是⊙O的切线.
(2)如图所示:连接OF.
∵OA⊥BC,
∴BE=EF= BF=12.
在Rt△OEF中,OE=5,EF=12,
∴OF=,
∴AE=OA+OE=13+5=18.
∴tan∠ABC=.
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