题目内容
【题目】抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点为D，它与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求顶点D的坐标；
（2）求直线BC的解析式；
（3）求△BCD的面积；
（4）当点P在直线BC上方的抛物线上运动时，△PBC的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值，并且写出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）D（1，4）；（2）y＝﹣x+3；（3）3；（4）存在，点P（
，
）．
【解析】
（1）函数的对称轴为：x＝1，当x＝1时，y＝﹣1+2+3＝4，即可求解；
（2）点B、C的坐标分别为：（3，0）、（0，3），将点B、C的坐标代入一次函数表达式即可求解；
（3）△BCD的面积＝
×DG×OB，即可求解；
（4）则S△PBC＝×PH×OB＝（﹣x2+2x+3+x﹣3），即可求解．
解：（1）函数的对称轴为：x＝1，
当x＝1时，y＝﹣1+2+3＝4，
故点D（1，4）；
（2）y＝﹣x2+2x+3的顶点为D，它与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，
则点A、B、C的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）、（0，3），
将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：
，解得：
，
故直线BC的表达式为：y＝﹣x+3；
（3）过点D作DG∥y轴交BC于点G，则点G（1，2），
△BCD的面积＝×DG×OB＝（4﹣2）×3＝3；
（4）过点P作y轴的平行线交BC于点H，
设点P（x，﹣x2+2x+3），点H（x，﹣x+3），
则S△PBC＝×PH×OB＝（﹣x2+2x+3+x﹣3）＝﹣x（x﹣3），
∵
，
∴S△PBC有最大值，最大值为：
，
此时点P（，）．
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