题目内容

如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线的顶点为A,与y轴的交点为B,连结AB,AC⊥AB,交y轴于点C,延长CA到点D,使AD=AC,连结BD.作AE∥x轴,DE∥y轴.

(1)当m=2时,求点B的坐标;
(2)求DE的长?
(3)①设点D的坐标为(x,y),求y关于x的函数关系式?②过点D作AB的平行线,与第(3)①题确定的函数图象的另一个交点为P,当m为何值时,以,A,B,D,P为顶点的四边形是平行四边形?

解:(1)当m=2时,
把x=0代入,得:y=2,
∴点B的坐标为(0,2)。
(2)延长EA,交y轴于点F,

∵AD=AC,∠AFC=∠AED=90°,∠CAF=∠DAE,
∴△AFC≌△AED(AAS)。∴AF=AE。
∵点A(m,),点B(0,m),
∴AF=AE=|m|,
∵∠ABF=90°﹣∠BAF=∠DAE,∠AFB=∠DEA=90°,
∴△ABF∽△DAE,∴,即:。∴DE=4。
(3)①∵点A的坐标为(m,),∴点D的坐标为(2m,)。
∴x=2m,y=
∴y=
∴所求函数的解析式为:y=
②作PQ⊥DE于点Q,则△DPQ≌△BAF,
(Ⅰ)当四边形ABDP为平行四边形时(如图1),

图1
点P的横坐标为3m,
点P的纵坐标为:
把P(3m,)代入y=得:

解得:m=0(此时A,B,D,P在同一直线上,舍去)或m=8。
(Ⅱ)当四边形ABDP为平行四边形时(如图2),

图2
点P的横坐标为m,
点P的纵坐标为:
把P(m,)代入得:

解得:m=0(此时A,B,D,P在同一直线上,舍去)或m=﹣8。
综上所述:m的值为8或﹣8。

解析

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