Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结BD．作AE∥x轴，DE∥y轴．

（1）当m=2时，求点B的坐标；
（2）求DE的长？
（3）①设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？②过点D作AB的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以，A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？

Answer 1

解：（1）当m=2时，，
把x=0代入，得：y=2，
∴点B的坐标为（0，2）。
（2）延长EA，交y轴于点F，

∵AD=AC，∠AFC=∠AED=90°，∠CAF=∠DAE，
∴△AFC≌△AED（AAS）。∴AF=AE。
∵点A（m，），点B（0，m），
∴AF=AE=|m|，，
∵∠ABF=90°﹣∠BAF=∠DAE，∠AFB=∠DEA=90°，
∴△ABF∽△DAE，∴，即：。∴DE=4。
（3）①∵点A的坐标为（m，），∴点D的坐标为（2m，）。
∴x=2m，y=，
∴y=，
∴所求函数的解析式为：y=。
②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF，
（Ⅰ）当四边形ABDP为平行四边形时（如图1），

图1
点P的横坐标为3m，
点P的纵坐标为：，
把P（3m，）代入y=得：
。
解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=8。
（Ⅱ）当四边形ABDP为平行四边形时（如图2），

图2
点P的横坐标为m，
点P的纵坐标为：，
把P（m，）代入得：
。
解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=﹣8。
综上所述：m的值为8或﹣8。

解析