Question

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点P是劣弧BC上一点（端点除外），∠APB=∠APC=60°．
（1）判断△ABC形状，并证明．
（2）探究线段PA，PB，PC三者数量关系，并证明．
（3）若PA=a，求四边形ABPC的面积．（用a的代数式表示）

Answer 1

考点：圆周角定理,全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）△ABC形状是等边三角形，根据圆周角定理和等边三角形的判定方法证明即可；
（2）猜想：AP=BP+CP，可通过构建全等三角形来求解；
（3）延长PB至M，使得MB=PC，连接AM，由全等三角形的判定定理可知△AMB≌△APC，进而可得出S_{四边形ABPC}=S_{△AMP的面积}，故可求出答案．

解答：（1）解：△ABC形状是等边三角形，理由如下：

（2）△ABC形状是等边三角形，理由如下：
证明：延长BP使PD=PC，连接CD，
∵∠APC=60°，∠BPC=120°，
∴∠PBC=∠PAC．
∴∠CPD=60°．
∴△PCD是等边三角形．
∴∠D=60°=∠APC．
在△BCD和△ACP中，

∠D=∠APC ∠DBC=∠PAC BC=AC

，
∴△BCD≌△ACP．
∴BD=AP．
∵BD=BP+PD=BP+CP，
∴AP=BP+CP．

（3）解：延长PB至M，使得MB=PC，连接AM，则
在△AMB和△APC中，

AB=AC ∠MAB=∠PAC MB=PC

，
∴△AMB≌△APC（SAS），
∴AM=AP，∠MAB=∠PAC，
又∵∠BAC=60°，
∴△MAP为正三角形，
∴S_{四边形ABPC}=S_{△AMP的面积}=

3

4

a²．

点评：本题考查的是圆周角定理、等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．