Question

已知抛物线y=ax²-2x+c与它的对称轴相交于点A（1，-4），与y轴交于C，与x轴正半轴交于B．
（1）求这条抛物线的函数关系式；
（2）设直线AC交x轴于D，P是线段AD上一动点（P点异于A，D），过P作PE∥x轴交直线AB于E，过E作EF⊥x轴于F，求当四边形OPEF的面积等于

7

2

时点P的坐标．

Answer 1

（1）由题意，知点A（1，-4）是抛物线的顶点，
∴

- -2 2a =1 -4=a-2+c

∴a=1，c=-3，
∴抛物线的函数关系式为y=x²-2x-3．

（2）由（1）知，点C的坐标是（0，-3）．
设直线AC的函数关系式为y=kx+b，
则

b=-3 -4=k+b

∴b=-3，k=-1，
∴y=-x-3．
由y=x²-2x-3=0，得x₁=-1，x₂=3，
∴点B的坐标是（3，0）．
设直线AB的函数关系式是y=mx+n，
则

3m+n=0 m+n=-4

解得m=2，n=-6．
∴直线AB的函数关系式是y=2x-6．
设P点坐标为（x_P，y_P），则y_P=-x_P-3．
∵PE∥x轴，
∴E点的纵坐标也是-x_P-3．
设E点坐标为（x_E，y_E），
∵点E在直线AB上，
∴-x_P-3=2x_E-6，
∴x_E=

3-xP

2

．
∵EF⊥x轴，
∴F点的坐标为（

3-xP

2

，0），
∴PE=x_E-x_P=

3-3xP

2

，OF=

3-xP

2

，EF=-（-x_P-3）=x_P+3，
∴S_{四边形OPEF}=

1

2

（PE+OF）•EF=

1

2

（

3-3xP

2

+

3-xP

2

）•（x_P+3）=

7

2

，
2x_P²+3x_P-2=0，
∴x_P=-2，xP=

1

2

，
当y=0时，x=-3，
而-3＜-2＜1，-3＜

1

2

＜1，
∴P点坐标为(

1

2

，-

7

2

)和（-2，-1）