Question

【题目】△ABC中，∠BAC=60°，点D在AB上，点E，F在BC上，∠ADE=60°，∠BAF=2∠BED.

（1）如图1，求证：AF=AC；

（2）如图2，当E为BC的中点时，求证:AD-BD=AF；

（3）如图3，在（2）的条件下，在AB上取点G，使∠ACG=∠BED，连接CG交AF于点M，若BD=3，FM=8，求AD的长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）AD=17

【解析】

（1）利用三角形内角和公式用∠B表示∠C，再用三角形外角性质用∠BAF和∠B表示∠AFC，最后化简后得到∠C=∠AFC，即可证到AF=AC．

（2）利用旋转后三角形全等，证出△CGH和△ADH是等边三角形，BD=CG=CH，由（1）得出的结论即可证出AD－BD=AF．

（3）设AM=x过点B作直线BI平行与AC，得到△IBE≌△HCE，∠IBE=∠HCE，再由∠BAC=∠I，∠ACG=∠BED，得到△IBE∽△AGC，∠IBE=∠AGC，，再证得△ABF∽△AMB，得，通过以上两个比例解出AM的值，再求出AD的值．

解：（1）∠C=180°－∠BAC－∠B=120°－∠B，

∠AFC=∠BAF+∠B =2∠BED+∠B=2（∠ADE－∠B）+∠B=120°－∠B，

∴∠C=∠AFC，

∴AF=AC．

（2）如图2所示：旋转△BDE，使B与C重合，得△CGE，延长AC、DG交于点H．

由（1）得∠ACB=120°－∠B．

又∵∠ECG=∠B，

∴∠ACG=∠ACB+∠ECG=120°－∠B+∠B=120°，

∴∠GCH=60°，

又∵∠BDE=∠CGE=120°，

∴∠CGH=60°，

∴∠GCH=∠CGH，

∴△CGH是等边三角形，

∴∠H=60°，且BD=CG=CH，

又∵∠ADE=60°，

∴△ADH是等边三角形，

∴AD=AH=AC+CH=AC+BD=AF+BD，

∴AD－BD=AF．

（3）如图3所示，延长DE、AC交于点H，过点B作BI∥AC交DE于点I，设AM=x，

则有AF=AC=8+x，

∵∠BAC=60°，∠ADE=60°，

∴△ADH是等边三角形，

∴AD=AC=DH，∠H=60°，

又∵BI∥AC，

∴△BID也是等边三角形，

∴BI=BD=DI=3，∠I=∠IBD=∠IDB=60°．

∵∠I=∠H=60°，∠IEB=∠HEC，BE=CE，

∴△IBE≌△HCE，

∴IE=HE，IB=HC=3，∠IBE=∠HCE，

∴AD=AC=DH=AC+HC=11+x，

∴EI=HI=（11+x+3）=（14+x）．

∵∠BAC=∠I=60°，∠ACG=∠BED，

∴△IBE∽△AGC，

∴∠IBE=∠AGC，，

∴∠HCE=∠AGC，

又∵∠ACF=∠AFC，

∴∠HCE=∠AFB=∠AGC，

∵∠AFB=∠AGC，∠GAM=∠GAM，

∴△ABF∽△AMB，

∴，

由，，得：

，，

解得：，（舍去），

∴AM=6，

∴AD=17．