Question

如图，在⊙O中，直径AB的两侧有定点C和动点P，点P在弧AB上运动（不与A、B重合），过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q．
（1）试猜想：△PCQ与△ACB具有何种关系？（不要求证明）；
（2）当点P运动到什么位置时，△ABC≌△PCB，并给出证明．

Answer 1

解：（1）△PCQ∽△ACB；
理由：∵CP⊥CQ，AB是⊙O的直径，
∴∠PCQ=∠ACB=90°，
∵∠A=∠P，
∴△PCQ∽△ACB；

（2）当PC过圆心时，△ABC≌△PCB．（4分）
证明：∵PC和AB都是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠PBC=90°，（5分）
且AB=PC，（6分）
又∠A=∠P．（7分）
∴△ABC≌△PCB．（8分）
分析：（1）由CP⊥CQ，AB是⊙O的直径，易得∠PCQ=∠ACB=90°，又由同弧所对的圆周角相等，即可得∠A=∠P，根据有两角对应相等的三角形相似，即可证得△PCQ∽△ACB；
（2）由△PCQ∽△ACB，只要AB=PC即可，又由AB是直径，则可得当PC过圆心时，△ABC≌△PCB．
点评：此题考查了圆的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定的知识．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．