Question

如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上,OA=4,OC=2．点P从点O出发,沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,当点P到达点A时停止运动,设点P运动的时间是t秒．将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D,点D随点P的运动而运动,连接DP、DA．

（1）请用含t的代数式表示出点D的坐标；
（2）求t为何值时,△DPA的面积最大,最大为多少？
（3）在点P从O向A运动的过程中,△DPA能否成为直角三角形？若能,求t的值．
若不能,请说明理由；
（4）请直接写出随着点P的运动,点D运动路线的长．

Answer 1

（1）D坐标为（t+1,）；（2）当t=2时,△DPA的面积最大,最大值为1；（3）经过2秒或3秒时,△PAD是直角三角形；(4)点D运动路线的长为．

试题分析：（1）设出P点坐标,再求出CP的中点坐标,根据相似的性质即可求出D点坐标；
（2）根据题意求出△DPA的面积,分析函数解析式求出最值；
（3）先判断出可能为直角的角,再根据勾股定理求解；
（4）根据点D的运动路线与OB平行且相等解答即可．
试题解析：（1）∵点P从点O出发,沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,
∴OP=t,而OC=2,
∴P（t,0）,
设CP的中点为F,则F点的坐标为（,1）,
∴将线段CP的中点F绕点P按顺时针方向旋转90°得点D,其坐标为（t+1,）；
（2）S=  
∴当t=2时,S最大,最大值为1
（3）∵∠CPD=90⁰,∴∠DPA+∠CPO=90⁰,∴∠DPA≠90⁰,故有以下两种情况：
①当∠PDA=90⁰时,由勾股定理得,
又,,
, 
即,解得（不合题意,舍去）
②当∠PAD=90⁰时,点D在BA上,故AE=3－t,得t=3
综上,经过2秒或3秒时,△PAD是直角三角形；
（4）∵根据点D的运动路线与OB平行且相等,OB=,
∴点D运动路线的长为．