题目内容

【题目】我们把两条中线互相垂直的三角形称为中垂三角形例如图1图2图3中AFBEABC的中线 AFBE垂足为PABC这样的三角形均为中垂三角形

特例探索

1如图1=45°=

如图2=30°=

归纳证明

2请你观察1中的计算结果猜想三者之间的关系用等式表示出来

并利用图3证明你发现的关系式

拓展应用

3如图4ABCDEFG分别是ADBCCD的中点BEEGAD=AB=6

AF的长

【答案】1图1:a=b=图2:a=b=;(2猜想:a2+b2=5c2理由见解析3AF=7

【解析】

试题分析:1利用特殊角的三角函数值和勾股定理求出AE的长然后可求出图中a、b的值2设PE=mPF=n那么PB=2mPA=2n然后根据勾股定理用m、n表示出AE2AC2BC2 AB2=PA2+PB2观察它们之间的关系可得出结论;(3连接AC交BE于点P取AB中点H连接FH交BE于点Q然后根据中位线定理的长FGACFHAC1=2=3=90°根据条件证明ARE≌△FRB从而得出AR=FR进而证明ABF是中垂三角形然后利用2中结论求出AF的长

试题解析:1图1:a=b=图2:a=b=

2猜想:a2+b2=5c2

设PE=mPF=n那么PB=2mPA=2n

根据勾股定理得:AE2=PE2+PA2=m2+2n2=m2+4n2

AC2=2AE2=4AE2=4m2+4n2=4m2+16n2=b2

同理BC2=2BF2=4BF2=4n2+4m2=4n2+16m2=a2

a2+b2=4n2+16m2+4m2+16n2=20m2+20n2=54m2+4n2

AB2=PA2+PB2=2n2+2m2=4m2+4n2=c2

a2+b2=5c2

3连接AC交BE于点P取AB中点H连接FH交BE于点Q

EG分别是ADCD的中点

FG是ACD的中位线FGAC

BEEG1=90°2=90°

同理FH是ABC的中位线FHAC

3=2=90°

又可以证得ARE≌△FRB

AR=FR

BR和FH都是ABF的中线并且BRFH

∴△ABF是中垂三角形

AB2+AF2=5BF262+AF2=52AF=7

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