题目内容
【题目】我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.例如图1,图2,图3中,AF,BE是△ABC的中线, AF⊥BE , 垂足为P.像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”.设,
,
.
特例探索
(1)如图1,当∠=45°,
时,
= ,
;
如图2,当∠=30°,
时,
= ,
;
归纳证明
(2)请你观察(1)中的计算结果,猜想三者之间的关系,用等式表示出来,
并利用图3证明你发现的关系式;
拓展应用
(3)如图4,在□ABCD中,点E,F,G分别是AD,BC,CD的中点,BE⊥EG, AD=,AB=6.
求AF的长.
【答案】(1)图1:a=,b=
;图2:a=
,b=
;(2)猜想:a2+b2=5c2,理由见解析;(3)AF=7.
【解析】
试题分析:(1)利用特殊角的三角函数值和勾股定理求出AE的长,然后可求出图中a、b的值;(2)设PE=m,PF=n,那么PB=2m,PA=2n,然后根据勾股定理用m、n表示出AE2,AC2,BC2, AB2=PA2+PB2,观察它们之间的关系,可得出结论;(3)连接AC,交BE于点P,取AB中点H,连接FH,交BE于点Q,然后根据中位线定理的长FG∥AC,FH∥AC,∠1=∠2=∠3=90°,根据条件证明△ARE≌△FRB从而得出AR=FR,进而证明△ABF是“中垂三角形”,然后利用(2)中结论求出AF的长.
试题解析:(1)图1:a=,b=
;图2:a=
,b=
(2)猜想:a2+b2=5c2
设PE=m,PF=n,那么PB=2m,PA=2n.
根据勾股定理得:AE2=PE2+PA2=m2+(2n)2=m2+4n2
∴AC2=(2AE)2=4AE2=4(m2+4n2)=4m2+16n2=b2
同理BC2=(2BF2)=4BF2=4(n2+4m2)=4n2+16m2=a2
∴a2+b2=(4n2+16m2)+ (4m2+16n2)=20m2+20n2=5(4m2+4n2)
又∵AB2=PA2+PB2=(2n)2+(2m)2=4m2+4n2=c2
∴a2+b2=5c2
(3)连接AC,交BE于点P,取AB中点H,连接FH,交BE于点Q.
∵E,G分别是AD,CD的中点
∴FG是△ACD的中位线,∴FG∥AC
又∵BE⊥EG,∴∠1=90°,∴∠2=90°
同理FH是△ABC的中位线,FH∥AC
∴∠3=∠2=90°
又可以证得△ARE≌△FRB,
∴AR=FR
∴
∴△ABF是“中垂三角形”.
∴AB2+AF2=5BF2,∴62+AF2=5()2,∴AF=7

【题目】某单位招聘员工,采取笔试与面试相结合的方式进行,两项成绩的原始分均为100分.前6名选手的得分如下:
序号 项目 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
笔试成绩/分 | 85 | 92 | 84 | 90 | 84 | 80 |
面试成绩/分 | 90 | 88 | 86 | 90 | 80 | 85 |
根据规定,笔试成绩和面试成绩分别按一定的百分比折合成综合成绩(综合成绩的满分仍为100分).
(1)这6名选手笔试成绩的中位数是________分,众数是________分;
(2)现得知1号选手的综合成绩为88分,求笔试成绩和面试成绩各占的百分比;
(3)求出其余五名选手的综合成绩,并以综合成绩排序确定前两名人选.