Question

【题目】已知：四边形 ABCD 内接于⊙O，连接 AC、BD，∠BAD+2∠ACB=180°．

（1）如图 1，求证：点 A 为弧 BD 的中点；

（2）如图 2，点 E 为弦 BD 上一点，延长 BA 至点 F，使得 AF=AB，连接 FE 交 AD 于点 P，过点 P 作 PH⊥AF 于点 H，AF=2AH+AP，求证：AH:AB=PE:BE；

（3）在（2）的条件下，如图 3，连接 AE，并延长 AE 交⊙O 于点 M，连接 CM，并延长 CM 交 AD 的延长线于点 N，连接 FD，∠MND=∠MED，DF=12﹒sin∠ACB，MN=，求 AH 的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）．

【解析】

（1）根据圆的内接四边形的性质可得∠BAD+∠BCD=180°，然后结合已知条件即可证出∠ACB=∠ACD，从而证出结论；

（2）在HF上取点G，使HG=HA，连接PG、AE，根据垂直平分线的性质可得AP=GP，结合已知条件可得，GP=GF，结合三线合一证出EA⊥BF，再证出EA∥PH，根据平行线分线段成比例定理和等量代换即可得出结论；

（3）连接MB和MD，先利用等角对等边证出MN=MD=，然后证出△BDF为直角三角形，∠BDF=90°，即可得出BF=12，然后证出△AFM∽△DFB，列出比例式即可求出DF，再根据勾股定理即可求出BD、BM，设AH=x，再利用相似三角形的判定及性质列出比例式即可求出结论．

解：（1）∵四边形 ABCD 内接于⊙O，

∴∠BAD+∠BCD=180°

∵∠BAD+2∠ACB=180°

∴∠BCD=2∠ACB

∴∠ACB=∠ACD

∴

即点 A 为弧 BD 的中点；

（2）在HF上取点G，使HG=HA，连接PG、AE

∵PH⊥AF

∴PH垂直平分AG

∴AP=GP

∴∠PAG=∠PGA

∵

∴∠ADB=∠ABD

∴∠PAG=∠ADB＋∠ABD=2∠ABD

∵AF=2AH+AP，AF=AH＋HG＋GF=2AH＋GF

∴AP=GF

∴GP=GF

∴∠GPF=∠F

∴∠PGA=∠GPF＋∠F=2∠F

∴∠ABD=∠F

∴EB=EF

∵AF=AB，

∴EA⊥BF

∴EA∥PH

∴AH：AF = PE：EF

∴AH:AB=PE:BE；

（3）连接MB和MD

∵

∴

∵

∴

∴

∴MN=MD=

∵，AB=AF

∴AB=AD=AF

∴∠ABD=∠ADB，∠ADF=∠AFD

∴∠ABD＋∠AFD=∠ADB＋∠ADF=∠BDF

∴△BDF为直角三角形，∠BDF=90°

∵

∴BF=12

∴AB=AD=AF=6

由（2）知：∠EAB=90°

∴∠MDB=90°

∴∠MDB＋∠BDF=180°

∴M、D、F三点共线

∵∠AFM=∠DFB，∠FAM=∠FDB=90°

∴△AFM∽△DFB

∴

即

解得：DF=或-10（不符合实际，舍去）

根据勾股定理可得BD=

BM=

设AH=x，由（2）知：AP=AF－2AH=6－2x

由圆的内角四边形的性质可得：∠PAH=∠BMD

∵∠AHP=∠MDB=90°

∴△AHP∽△MDB

∴

即

解得：x=

即