题目内容
【题目】在平面直角坐标系中，正方形ABCD的四个顶点坐标分别为A(-2,4)，B(-2，-2)，C(4，-2)，D(4,4).
(1)填空：正方形的面积为_______；当双曲线
(k≠0)与正方形ABCD有四个交点时，k的取值范围是_______.
(2)已知抛物线L：
(a>0)顶点P在边BC上，与边AB，DC分别相交于点E，F，过点B的双曲线(k≠0)与边DC交于点N.
①点Q(m，-m2-2m+3)是平面内一动点，在抛物线L的运动过程中，点Q随m运动，分别求运动过程中点Q在最高位置和最低位置时的坐标.
②当点F在点N下方，AE=NF，点P不与B，C两点重合时，求
的值.
③求证：抛物线L与直线
的交点M始终位于
轴下方.
【答案】(1)36；0<k<4或-8<k<0；(2)①最高点(-1,4)；最低点(4，-21)；②
；③证明见解析.
【解析】
（1）由坐标求出正方形的边长，即可求出面积，讨论反比例函数在一、三象限和二、四象限时，利用数形结合求出k的范围；
（2）①由题意可知，
，
分
，
和
分别讨论Q点符合条件的坐标；
②将点B（-2，-2）代入双曲线，可求k=4和N（4，1），再表示出点E
和F
，可推出BE=
，CF=
， 
，再根据AE=NF可推出
，进而可求
的值；
③由题意得，M
，
，当m=1时，
最小为
，当
或4时，最大为
，再分别讨论当m=4时,根据E点不与B点重合，列出不等式可得
，当时， F点不与C点重合列出不等式可得，即可得证.
解：（1）由点A（-2，4），B（-2，-2）可知正方形的边长为6，
∴正方形面积为36；
当反比例函数在一、三象限时，若经过B（-2，-2）则
，若经过D(4,4)，则
，根据图像特征，要有4个交点，则0<k<4；
当反比例函数在二、四象限时，若经过A(-2,4)则
，若经过C(4，-2)则
，根据图像特征，要有4个交点，则-8<k<0，
综上，k的取值范围是0<k<4或-8<k<0.
（2）①由题意可知，，
当m=-1，
最大=4，在运动过程中点Q在最高位置时的坐标为（-1，4）
当m<-1时，随m的增大而增大，当m=-2时，最小=3，
当m>-1时，随m的增大而减小，当m=4时，最小=-21，
3>-21，∴最小=-21，点Q在最低位置时的坐标（4，-21）
∴在运动过程中点Q在最高位置时的坐标为（-1，4），最低位置时的坐标为（4，-21）
②将点B（-2，-2）代入双曲线得 
，∴k=4，∴反比例函数解析式为
N点横坐标x=4，代入得
，∴N（4，1）
由顶点P（m，n）在边BC上，∴
，BP=
，CP=
E点横坐标x=-2，F点横坐标x=4，分别代入抛物线
可得
E，F，
∴BE=，CF= ，
∴，
又∵AE=NF，点F在点N下方，
∴
化简得，∴
③由题意得，M，，
∵二次函数
对称轴为m=1，
，
∴当m=1时，取得最小值为，
当或4时，最大为，
当m=4时，抛物线L为
，
E点横坐标为-2，代入抛物线得
，∴E
F点横坐标为x=4，代入抛物线得
，∴
∵E点在AB边上，且此时不与B重合，
∴
，解得
∴
，∴
当时，抛物线L为
同理可得E
，F
∵F在CD边上，且此时不与C重合
∴
，解得，
∴，∴
综上，抛物线L与直线x=1的交点始终位于x轴的下方.
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