Question

已知四边形ABCD中，AD+DB+BC=16，则四边形ABCD的面积的最大值为

 

．

Answer 1

分析：先画图，由于S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△BCD，那么当∠ADB=∠BCD=90°时，S_△ABD、S_△BCD有最大值，也就是四边形ABCD有最大值，再结合AD+DB+BC=16，可求S_{四边形ABCD}=8BD-

1

2

BD²，再利用二次函数的求最值问题，即可求四边形ABCD的面积．

解答：解：如右图所示，连接BD，
∵S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△BCD，
S_△ABD=

1

2

AD•BDsin∠ADB，
S_△BCD=

1

2

BD•BCsin∠BCD，
∴当∠ADB=∠BCD=90°时，S_△ABD、S_△BCD有最大值，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△BCD=

1

2

AD•BD+

1

2

BD•BC，
又∵AD+BC=16-BD，
∴S_{四边形ABCD}=

1

2

BD（16-BD）=8BD-

1

2

BD²，
∵a=-

1

2

＜0，
∴当BD=-

b

2a

=8时，四边形ABCD的面积有最大值=

4ac-b2

4a

=32．
故四边形ABCD的最大面积是32．

点评：本题考查了四边形面积的计算、二次函数的性质．已知两边和夹角，可利用夹角的正弦来求面积．要使三角形面积最大，则夹角应等于90°．