Question

如图①，在直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以OA为边在第一象限内作正方形OABC，点D是x轴正半轴上一动点（OD＞1），连接BD，以BD为边在第一象限内作正方形DBFE，设M为正方形DBFE的中心，直线MA交y轴于点N．如果定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形．
（1）试找出图1中的一个损矩形；
（2）试说明（1）中找出的损矩形的四个顶点一定在同一个圆上；
（3）随着点D位置的变化，点N的位置是否会发生变化？若没有发生变化，求出点N的坐标；若发生变化，请说明理由；
（4）在图②中，过点M作MG⊥y轴于点G，连接DN，若四边形DMGN为损矩形，求D点坐标．

Answer 1

分析：（1）根据题中给出的损矩形的定义，从图找出只有一组对角是直角的四边形即可；
（2）证明四边形BADM四个顶点到BD的中点距离相等即可；
（3）利用同弧所对的圆周角相等可得∠MAD=∠MBD，进而得到OA=ON，那么就求得了点N的坐标；
（4）根据正方形的性质及损矩形含有的直角，利用勾股定理求解．

解答：解：（1）从图中我们可以发现四边形ADMB就是一个损矩形．
∵点M是正方形对角线的交点，
∴∠BMD=90°，
∵∠BAD=90°，
∴四边形ADMB就是一个损矩形．

（2）取BD中点H，连接MH，AH．
∵四边形OABC，BDEF是正方形，
∴△ABD，△BDM都是直角三角形，
∴HA=

1

2

BD，HM=

1

2

BD，
∴HA=HB=HM=HD=

1

2

BD，
∴损矩形ABMD一定有外接圆．

（3）∵损矩形ABMD一定有外接圆⊙H，
∴∠MAD=∠MBD，
∵四边形BDEF是正方形，
∴∠MBD=45°，
∴∠MAD=45°，
∴∠OAN=45°，
∵OA=1，
∴ON=1，
∴N点的坐标为（0，-1）．

（4）延长AB交MG于点P，过点M作MQ⊥x轴于点Q，
设点MG=x，则四边形APMQ为正方形，
∴PM=AQ=x-1，
∴OG=MQ=x-1，
∵△MBP≌△MDQ，
∴DQ=BP=CG=x-2，
∴MN²=2x²，
ND²=（2x-2）²+1²，
MD²=（x-1）²+（x-2）²，
∵四边形DMGN为损矩形，
∴2x²=（2x-2）²+1²+（x-1）²+（x-2）²，
∴2x²-7x+5=0，
∴x=2.5或x=1（舍去），
∴OD=3，
∴D点坐标为（3，0）．

点评：解决本题的关键是理解损矩形的只有一组对角是直角的性质，综合考查了四点共圆的判定及勾股定理的应用．