Question

【题目】在线段AB的同侧作射线AM和BN，若∠MAB与∠NBA的平分线分别交射线BN，AM于点E，F，AE和BF交于点P．如图，点点同学发现当射线AM，BN交于点C；且∠ACB=60°时，有以下两个结论：

①∠APB=120°；②AF+BE=AB．

那么，当AM∥BN时：

（1）点点发现的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请求出∠APB的度数，写出AF，BE，AB长度之间的等量关系，并给予证明；

（2）设点Q为线段AE上一点，QB=5，若AF+BE=16，四边形ABEF的面积为，求AQ的长．

Answer 1

【答案】（1）原命题不成立，新结论为：∠APB=90°，AF+BE=2AB（或AF=BE=AB）；（2）当∠FAB=60°时，AQ=或．

【解析】

试题分析：（1）由角平分线和平行线整体求出∠MAB+∠NBA，从而得到∠APB=90°，最后用等边对等角，即可．

（2）先根据条件求出AF，FG，求出∠FAG=60°，最后分两种情况讨论计算．

试题解析：（1）原命题不成立，新结论为：∠APB=90°，AF+BE=2AB（或AF=BE=AB）．

理由：∵AM∥BN，∴∠MAB+∠NBA=180°，∵AE，BF分别平分∠MAB，NBA，∴∠EAB=∠MAB，∠FBA=∠NBA，∴∠EAB+∠FBA=（∠MAB+∠NBA）=90°，∴∠APB=90°，∵AE平分∠MAB，∴∠MAE=∠BAE，∵AM∥BN，∴∠MAE=∠BAE，∴∠BAE=∠BEA，∴AB=BE，同理：AF=AB，∴AF=+BE=2AB（或AF=BE=AB）；

（2）如图1，过点F作FG⊥AB于G，∵AF=BE，AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AF+BE=16，∴AB=AF=BE=8，∵=8×FG，∴FG=，在Rt△FAG中，AF=8，∴∠FAG=60°，当点G在线段AB上时，∠FAB=60°，当点G在线段BA延长线时，∠FAB=120°．

①如图2，当∠FAB=60°时，∠PAB=30°，∴PB=4，PA=，∵BQ=5，∠BPA=90°，∴PQ=3，∴AQ=或AQ=．

②如图3，当∠FAB=120°时，∠PAB=60°，∠FBG=30°，∴PB=，∵PB=＞5，∴线段AE上不存在符合条件的点Q，∴当∠FAB=60°时，AQ=或．