Question

【题目】如图，在中，，，.动点以每秒5个单位长度的速度从点出发，沿的方向向终点运动.点关于点的对称点为，过点作于点，以、为边作，设点的运动时间为.

（1）当点在上运动时，用含的代数式表示的长.

（2）当为菱形时，求的值.

（3）设的面积为，求与之间的函数关系式.

（4）作点关于直线的对称点，当点落在内部时，直接写出的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）当时，；当时， ；（4）或.

【解析】

（1）先证△APQ∽△ABC，根据相似比可得出答案；

（2）当为菱形时，即PQ=2PC，分两种情况讨论：①点P在AC上时，②点P在BC上时，分别求解即可；

（3）分两种情况讨论即可：①当点P在AC上时，②当点P在BC上时，分别求出的高即可解决问题；

（4）分两种情况讨论即可：①当点P在AC上时，②当点P在BC上时，找到两种情况的临界值即可.

解：（1）∵，，，

∴根据勾股定理有，

∵动点以每秒5个单位长度的速度从点出发，

∴AP=5t，

∵PQ⊥AB，

∴∠AQP=90°，

在△APQ与△ABC中，∠AQP=∠ACB，∠A=∠A，

∴△APQ∽△ABC，

∴，

∴，

∴当点在上运动时，；

（2）根据题意可知AP=5t，

∴PC=15-5t，

∵关于点的对称点为，

∴PC=CD，

∴PD=2PC=30-10t，

当为菱形时，即PQ=PD时，

①当点P在AC上时，（），

解得；

②当点P在BC上时，PB=35-5t，PC=5t-15，PD=10t-30，

在△BPQ与△BAC中，∠BQP=∠BCA=90°，∠B=∠B，

∴△BPQ∽△BAC，

∴，

∴，

∴当点P在BC上时，，

解得；

（3）①当点P在AC上时，即时，如图，作QH⊥AC于点H，

由（1）（2）可知AB=25，△APQ∽△ABC ，AP=5t，PQ=4t，PC=15-5t，PD=30-10t，

∴，

∴AQ=3t，

∵，

∴，

∴；

②当点P在BC上时，即时，如图，作QF⊥BC于点F，

由（2）可知AB=25，△BPQ∽△BAC，PB=35-5t，PC=5t-15，PD=10t-30，PQ=3（7-t），

∴，

∴，

∵，

∴，

∴；

（4）结合（3）①当点P在AC上时，此时，如下图，

当恰好在AC上时，此时根据对称的性质和平行四边形的性质，可知四边形与四边形是平行四边形，所以，又因为AP=5t，所以有，解得，所以此时t的取值范围；

②当点P在BC上时，此时时，如下图，

当恰好在BC上时，此时根据对称的性质和平行四边形的性质，可知四边形与四边形是平行四边形，所以，又因为PC=5t-15，PD=10t-30，，所以有，解得，所以此时t的取值范围.