题目内容
【题目】如图,在中,
,
,
.动点
以每秒5个单位长度的速度从点
出发,沿
的方向向终点
运动.点
关于点
的对称点为
,过点
作
于点
,以
、
为边作
,设点
的运动时间为
.
(1)当点在
上运动时,用含
的代数式表示
的长.
(2)当为菱形时,求
的值.
(3)设的面积为
,求
与
之间的函数关系式.
(4)作点关于直线
的对称点
,当点
落在
内部时,直接写出
的取值范围.
【答案】(1);(2)
或
;(3)当
时,
;当
时,
;(4)
或
.
【解析】
(1)先证△APQ∽△ABC,根据相似比可得出答案;
(2)当为菱形时,即PQ=2PC,分两种情况讨论:①点P在AC上时,②点P在BC上时,分别求解即可;
(3)分两种情况讨论即可:①当点P在AC上时,②当点P在BC上时,分别求出的高即可解决问题;
(4)分两种情况讨论即可:①当点P在AC上时,②当点P在BC上时,找到两种情况的临界值即可.
解:(1)∵,
,
,
∴根据勾股定理有,
∵动点以每秒5个单位长度的速度从点
出发,
∴AP=5t,
∵PQ⊥AB,
∴∠AQP=90°,
在△APQ与△ABC中,∠AQP=∠ACB,∠A=∠A,
∴△APQ∽△ABC,
∴,
∴,
∴当点在
上运动时,
;
(2)根据题意可知AP=5t,
∴PC=15-5t,
∵关于点
的对称点为
,
∴PC=CD,
∴PD=2PC=30-10t,
当为菱形时,即PQ=PD时,
①当点P在AC上时,(
),
解得;
②当点P在BC上时,PB=35-5t,PC=5t-15,PD=10t-30,
在△BPQ与△BAC中,∠BQP=∠BCA=90°,∠B=∠B,
∴△BPQ∽△BAC,
∴,
∴,
∴当点P在BC上时,,
解得;
(3)①当点P在AC上时,即时,如图,作QH⊥AC于点H,
由(1)(2)可知AB=25,△APQ∽△ABC ,AP=5t,PQ=4t,PC=15-5t,PD=30-10t,
∴,
∴AQ=3t,
∵,
∴,
∴;
②当点P在BC上时,即时,如图,作QF⊥BC于点F,
由(2)可知AB=25,△BPQ∽△BAC,PB=35-5t,PC=5t-15,PD=10t-30,PQ=3(7-t),
∴,
∴,
∵,
∴,
∴;
(4)结合(3)①当点P在AC上时,此时,如下图,
当恰好在AC上时,此时根据对称的性质和平行四边形的性质,可知四边形
与四边形
是平行四边形,所以
,又因为AP=5t,所以有
,解得
,所以此时t的取值范围
;
②当点P在BC上时,此时时,如下图,
当恰好在BC上时,此时根据对称的性质和平行四边形的性质,可知四边形
与四边形
是平行四边形,所以
,又因为PC=5t-15,PD=10t-30,
,所以有
,解得
,所以此时t的取值范围
.

【题目】某班“数学兴趣小组”对函数y=x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究,探究过程如下,请补充完整.(1)自变量x的取值范围是全体实数,x与y的几组对应值列表如下:
x | … | ﹣3 | ﹣ | ﹣2 | ﹣1 | 0 | 1 | 2 | 3 | … | |
y | … | 3 | m | ﹣1 | 0 | ﹣1 | 0 | 3 | … |
其中,m= .
(2)根据表中数据,在如图所示的平面直角坐标系中描点,并画出了函数图象的一部分,请画出该函数图象的另一部分.
(3)观察函数图象,写出两条函数的性质.
(4)进一步探究函数图象发现:
①函数图象与x轴有 个交点,所以对应的方程x2﹣2|x|=0有 个实数根;
②方程x2﹣2|x|=2有 个实数根.
③关于x的方程x2﹣2|x|=a有4个实数根时,a的取值范围是 .