题目内容

【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,以AC边为直径作⊙O交BC边于点D,过点D作DE⊥AB于点E,ED、AC的延长线交于点F.
(1)求证:EF是⊙O的切线;
(2)若EB= ,且sin∠CFD= ,求⊙O的半径与线段AE的长.

【答案】
(1)证明:连结OD,如图,

∵AB=AC,

∴∠B=∠ACD,

∵OC=OD,

∴∠ODC=∠OCD,

∴∠B=∠ODC,

∴OD∥AB,

∵DE⊥AB,

∴OD⊥EF,

∴EF是⊙O的切线


(2)解:在Rt△ODF,sin∠OFD= =

设OD=3x,则OF=5x,

∴AB=AC=6x,AF=8x,

在Rt△AEF中,∵sin∠AFE= =

∴AE= 8x= x,

∵BE=AB﹣AE=6x﹣ x= x,

x= ,解得x=

∴AE= =6,

OD=3 =

即⊙O的半径长为


【解析】(1)连结OD,如图,由AB=AC得到∠B=∠ACD,由OC=OD得到∠ODC=∠OCD,则∠B=∠ODC,于是可判断OD∥AB,然后利用DE⊥AB得到OD⊥EF,然后根据切线的判定定理得到结论;(2)在Rt△ODF利用正弦的定义得到sin∠OFD= = ,则可设OD=3x,OF=5x,所以AB=AC=6x,AF=8x,在Rt△AEF中由于sin∠AFE= = ,可得到AE= x,接着表示出BE得到 x= ,解得x= ,于是可得到AE和OD的长.
【考点精析】掌握切线的判定定理是解答本题的根本,需要知道切线的判定方法:经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

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