Question

已知x₁、x₂、…、x₄₀都是正整数，且x₁+x₂+…+x₄₀=58，若x₁²+x₂²+…+x₄₀²的最大值为A，最小值为B，则A+B的值等于

 

．

Answer 1

分析：根据把58写成40个正整数的和的写法只有有限种可知，x₁²+x₂²+…+x₄₀²的最小值和最大值是存在的，设x₁≤x₂≤…≤x₄₀，再根据完全平方公式可得到（x₁-1）²+（x₂+1）²=x₁²+x₂²+2（x₂-x₁）+2＞x₁²+x₂²，进而可得到当x₄₀=19时，x₁²+x₂²++x₄₀²取得最大值；同理设存在两个数x_i，x_j，使得x_j-x_i≥2（1≤i≤j≤40），则（x_i+1）²+（x_j-1）²=x_i²+x_j²-2（x_j-x_i-1）＜x_i²+x_j²，当x₁=x₂=x₂₂=1，x₂₃=x₂₄=x₄₀=2时，x₁²+x₂²+…+x₄₀²取得最小值．

解答：解：因为把58写成40个正整数的和的写法只有有限种，
故x₁²+x₂²+…+x₄₀²的最小值和最大值是存在的．
不妨设x₁≤x₂≤…≤x₄₀，若x₁＞1，则x₁+x₂=（x₁-1）+（x₂+1），且（x₁-1）²+（x₂+1）²=x₁²+x₂²+2（x₂-x₁）+2＞x₁²+x₂²，
所以，当x₁＞1时，可以把x₁逐步调整到1，这时x₁²+x₂²+…+x₄₀²将增大；
同样地，可以把x₂，x₃，x₃₉逐步调整到1，这时x₁²+x₂²+…+x₄₀²将增大．
于是，当x₁，x₂，x₃₉均为1，x₄₀=19时，x₁²+x₂²+…+x₄₀²取得最大值，即A=

12+12++12

39个

+19²=400．
若存在两个数x_i，x_j，使得x_j-x_i≥2（1≤i≤j≤40），则（x_i+1）²+（x_j-1）²=x_i²+x_j²-2（x_j-x_i-1）＜x_i²+x_j²，
这说明在x₁，x₃，x₃₉，x₄₀中，
如果有两个数的差大于1，则把较小的数加1，较大的数减1，这时，x₁²+x₂²+…+x₄₀²将减小．
所以，当x₁²+x₂²+…+x₄₀²取到最小时，x₁，x₂，x₄₀中任意两个数的差都不大于1．
于是当x₁=x₂=x₂₂=1，x₂₃=x₂₄=x₄₀=2时，x₁²+x₂²+…+x₄₀²取得最小值，
即B=

12+12++12

22个

+

22+22++22

18个

=94，
故A+B=494．

点评：本题考查的是整数问题的综合运用，能根据完全平方公式得出其最大、最小值是解答此题的关键，此题难度较大．