题目内容

【题目】如图,PB为O的切线,B为切点,直线PO交于点E,F,过点B作PO的垂线BA,垂足为点D,交O于点A,延长AO与O交于点C,连接BC,AF.

(1)求证:直线PA为O的切线;

(2)试探究线段EF,OD,OP之间的等量关系,并加以证明;

(3)若BC=6,tanF,求cosACB的值和线段PE的长.

【答案】(1)证明见解析;(2)EF2=4ODOP证明见解析;(3).

【解析】

试题分析:(1)连接OB,根据垂径定理的知识,得出OA=OB,∠POA=∠POB,从而证明△PAO≌△PBO,然后利用全等三角形的性质结合切线的判定定理即可得出结论

(2)先证明△OAD∽△OPA,由相似三角形的性质得出OA与OD、OP的关系,然后将EF=2OA代入关系式即可

(3)根据题意可确定OD是△ABC的中位线,设AD=x,然后利用三角函数的知识表示出FD、OA,在Rt△AOD中,由勾股定理解出x的值,从而能求出cos∠ACB,再由(2)可得OA2=ODOP,代入数据即可得出PE的长.

试题解析:(1)如图,连接OB,

∵PB是⊙O的切线,∴∠PBO=90°.

∵OA=OB,BA⊥PO于D,∴AD=BD,∠POA=∠POB.

又∵PO=PO,∴△PAO≌△PBO(SAS).

∴∠PAO=∠PBO=90°. ∴直线PA为⊙O的切线.

(2)EF2=4ODOP证明如下:

∵∠PAO=∠PDA=90°,∴∠OAD+∠AOD=90°,∠OPA+∠AOP=90°.

∴∠OAD=∠OPA. ∴△OAD∽△OPA. ,即OA2=ODOP.

又∵EF=2OA,∴EF2=4ODOP.

(3)∵OA=OC,AD=BD,BC=6,∴OD=BC=3(三角形中位线定理).

设AD=x,

∵tan∠F=,∴FD=2x,OA=OF=2x﹣3.

在Rt△AOD中,由勾股定理,得(2x﹣3)2=x2+32

解得,x1=4,x2=0(不合题意,舍去).∴AD=4,OA=2x﹣3=5.

∵AC是⊙O直径,∴∠ABC=90°.

又∵AC=2OA=10,BC=6,∴cos∠ACB=.

∵OA2=ODOP,∴3(PE+5)=25.∴PE=.

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