Question

【题目】小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：

求解体验：

（1）已知抛物线y＝﹣x2+bx﹣3经过点（﹣1，0），则b＝　 　，顶点坐标　 　，该抛物线关于点（0，1）成中心对称的抛物线的表达式是　 　．

抽象感悟：

我们定义：对于抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），以y轴上的点M（0，m）为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线y'，则我们又称抛物线y'为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．

（2）已知抛物线y＝﹣x2﹣2x+5关于点（0，m）的衍生抛物线为y'，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围．

问题解决：

（3）已知抛物线y＝ax2+2ax﹣b（a≠0）若抛物线y的衍生抛物线为y'＝bx2﹣2bx+a2（b≠0），两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a，b的值及衍生中心的坐标．

Answer 1

【答案】（1）﹣4，（﹣2，1），y＝x2﹣4x+5； （2）m≤5；（3）a＝3，b＝﹣3，衍生中心的坐标为（0，6）；

【解析】

求解体验：（1）利用待定系数法求出b的值，进而求出顶点坐标，在抛物线上取一点（0，﹣3），求出点（﹣2，1）和（0，﹣3）关于（0，1）的对称点坐标，利用待定系数法即可得出结论；

抽象感悟：（2）求出抛物线的顶点坐标（﹣1，6），进而利用待定系数法求出衍生函数解析式，联立即可得出结论；

问题解决：（3）①求出抛物线的顶点坐标和衍生抛物线的顶点坐标，分别代入抛物线解析式中，即可求出a，b的值，即可得出结论；

解：求解体验：

（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx﹣3经过点（﹣1，0），

∴﹣1﹣b﹣3＝0，

∴b＝﹣4，

∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣4x﹣3＝﹣（x+2）2+1，

∴抛物线的顶点坐标为（﹣2，1），

∴抛物线的顶点坐标（﹣2，1）关于（0，1）的对称点为（2，1），

即：新抛物线的顶点坐标为（2，1），

令原抛物线的x＝0，

∴y＝﹣3，

∴（0，﹣3）关于点（0，1）的对称点坐标为（0，5），

设新抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+1，

∵点（0，5）在新抛物线上，

∴5＝a（0﹣2）2+1，

∴a＝1，

∴新抛物线解析式为y＝（x﹣2）2+1＝x2﹣4x+5，

故答案为：﹣4，（﹣2，1），y＝x2﹣4x+5；

抽象感悟：

（2）∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+5＝﹣（x+1）2+6①，

∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，6），

设衍生抛物线为y′＝a（x﹣1）2+2m﹣6，

∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+5关于点（0，m）的衍生抛物线为y′，

∴a＝1，

∴衍生抛物线为y′＝（x﹣1）2+2m﹣6＝x2﹣2x+2m﹣5②，

联立①②得，x2﹣2x+2m﹣5＝﹣x2﹣2x+5，

整理得，2x2＝10﹣2m，

∵这两条抛物线有交点，

∴10﹣2m≥0，

∴m≤5；

问题解决：

（3）①抛物线y＝ax2+2ax﹣b＝a（x+1）2﹣a﹣b，

∴此抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣a﹣b），

∵抛物线y的衍生抛物线为y′＝bx2﹣2bx+a2＝b（x﹣1）2+a2﹣b，

∴a+b＝0，③

∵两个抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，

∴b+2b+a2＝﹣a﹣b④，

联立③④，得：

a＝0（舍）或a＝3，

∴b＝﹣3，

∴抛物线y的顶点坐标为（﹣1，0），抛物线y的衍生抛物线的顶点坐标为（1，12），

∴衍生中心的坐标为：（0，6）.