题目内容

【题目】已知:如图,直线y=3x+3与x轴交于C点,与y轴交于A点,B点在x轴上,OAB是等腰直角三角形.

(1)求过A、B、C三点的抛物线的解析式;

(2)若直线CDAB交抛物线于D点,求D点的坐标;

(3)若P点是抛物线上的动点,且在第一象限,那么PAB是否有最大面积?若有,求出此时P点的坐标和PAB的最大面积;若没有,请说明理由.

【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;(2)(4,﹣5);(3)在第一象限的抛物线上,存在一点P,使得ABP的面积最大;P点的坐标为(),最大值为:

【解析】

试题分析:(1)求得直线y=3x+3与坐标轴的两交点坐标,然后根据OB=OA即可求得点B的坐标,然后利用待定系数法求得经过A、B、C三点的抛物线的解析式即可;

(2)首先利用待定系数法求得直线AB的解析式,然后根据CDAB得到两直线的k值相等,根据直线CD经过点C求得直线CD的解析式,然后求得直线CD和抛物线的交点坐标即可;

(3)本问关键是求出ABP的面积表达式.这个表达式是一个关于P点横坐标的二次函数,利用二次函数求极值的方法可以确定P点的坐标.

解:(1)令y=3x+3=0得:x=﹣1,

故点C的坐标为(﹣1,0);

令x=0得:y=3x+3=3×0+3=3

故点A的坐标为(0,3);

∵△OAB是等腰直角三角形.

OB=OA=3

点B的坐标为(3,0),

设过A、B、C三点的抛物线的解析式y=ax2+bx+c,

解得:

解析式为:y=﹣x2+2x+3;

(2)设直线AB的解析式为y=kx+b,

解得:

直线AB的解析式为:y=﹣x+3

线CDAB

设直线CD的解析式为y=﹣x+b

经过点C(﹣1,0),

﹣(﹣1)+b=0

解得:b=﹣1,

直线CD的解析式为:y=﹣x﹣1,

令﹣x﹣1=﹣x2+2x+3,

解得:x=﹣1,或x=4,

将x=4代入y=﹣x2+2x+3=﹣16+2×4+3=﹣5,

点D的坐标为:(4,﹣5);

(3)存在.如图1所示,设P(x,y)是第一象限的抛物线上一点,

过点P作PNx轴于点N,则ON=x,PN=y,BN=OB﹣ON=3﹣x.

SABP=S梯形PNOA+SPNB﹣SAOB

=(OA+PN)ON+PNBN﹣OAOB

=(3+y)x+y(3﹣x)﹣×3×3

=(x+y)﹣

P(x,y)在抛物线上,y=﹣x2+2x+3,代入上式得:

SPAB=(x+y)﹣=﹣(x2﹣3x)=﹣(x﹣2+

当x=时,SPAB取得最大值.

当x=时,y=﹣x2+2x+3=

P).

所以,在第一象限的抛物线上,存在一点P,使得ABP的面积最大;

P点的坐标为(),最大值为:

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