题目内容
【题目】已知:如图,直线y=3x+3与x轴交于C点,与y轴交于A点,B点在x轴上,△OAB是等腰直角三角形.
(1)求过A、B、C三点的抛物线的解析式;
(2)若直线CD∥AB交抛物线于D点,求D点的坐标;
(3)若P点是抛物线上的动点,且在第一象限,那么△PAB是否有最大面积?若有,求出此时P点的坐标和△PAB的最大面积;若没有,请说明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;(2)(4,﹣5);(3)在第一象限的抛物线上,存在一点P,使得△ABP的面积最大;P点的坐标为(,),最大值为:.
【解析】
试题分析:(1)求得直线y=3x+3与坐标轴的两交点坐标,然后根据OB=OA即可求得点B的坐标,然后利用待定系数法求得经过A、B、C三点的抛物线的解析式即可;
(2)首先利用待定系数法求得直线AB的解析式,然后根据CD∥AB得到两直线的k值相等,根据直线CD经过点C求得直线CD的解析式,然后求得直线CD和抛物线的交点坐标即可;
(3)本问关键是求出△ABP的面积表达式.这个表达式是一个关于P点横坐标的二次函数,利用二次函数求极值的方法可以确定P点的坐标.
解:(1)令y=3x+3=0得:x=﹣1,
故点C的坐标为(﹣1,0);
令x=0得:y=3x+3=3×0+3=3
故点A的坐标为(0,3);
∵△OAB是等腰直角三角形.
∴OB=OA=3,
∴点B的坐标为(3,0),
设过A、B、C三点的抛物线的解析式y=ax2+bx+c,
解得:
∴解析式为:y=﹣x2+2x+3;
(2)设直线AB的解析式为y=kx+b,
∴
解得:
∴直线AB的解析式为:y=﹣x+3
∵线CD∥AB
∴设直线CD的解析式为y=﹣x+b
∵经过点C(﹣1,0),
∴﹣(﹣1)+b=0
解得:b=﹣1,
∴直线CD的解析式为:y=﹣x﹣1,
令﹣x﹣1=﹣x2+2x+3,
解得:x=﹣1,或x=4,
将x=4代入y=﹣x2+2x+3=﹣16+2×4+3=﹣5,
∴点D的坐标为:(4,﹣5);
(3)存在.如图1所示,设P(x,y)是第一象限的抛物线上一点,
过点P作PN⊥x轴于点N,则ON=x,PN=y,BN=OB﹣ON=3﹣x.
S△ABP=S梯形PNOA+S△PNB﹣S△AOB
=(OA+PN)ON+PNBN﹣OAOB
=(3+y)x+y(3﹣x)﹣×3×3
=(x+y)﹣,
∵P(x,y)在抛物线上,∴y=﹣x2+2x+3,代入上式得:
S△PAB=(x+y)﹣=﹣(x2﹣3x)=﹣(x﹣)2+,
∴当x=时,S△PAB取得最大值.
当x=时,y=﹣x2+2x+3=,
∴P(,).
所以,在第一象限的抛物线上,存在一点P,使得△ABP的面积最大;
P点的坐标为(,),最大值为:.