Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上任一点（不与A，C重合），连接BP，DP，过P作PE∥CD交AD于E，过P作PF∥AD交CD于F，连接EF．
（1）求证：△ABP≌△ADP；
（2）若BP=EF，求证：四边形EPFD是矩形．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，

∴∠DAP=∠PAB，AD=AB，

∵在△APB和△APD中， ，

∴△ABP≌△ADP（SAS）

（2）证明：∵PE∥CD，PF∥AD，

∴四边形EPFD是平行四边形，

由（1）得：△ABP≌△ADP，

∴BP=DP，

又∵BP=EF，

∴DP=EF，

∴四边形EPFD是矩形

【解析】（1）根据菱形的性质得出∠DAP=∠PAB，AD=AB，再利用全等三角形的判定得出△ABP≌△ADP即可；（2）先证明四边形EPFD是平行四边形，再由全等三角形的性质得出BP=DP，由已知证出DP=EF，即可得出结论．
【考点精析】通过灵活运用菱形的性质和矩形的判定方法，掌握菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半；有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；两条对角线相等的平行四边形是矩形即可以解答此题．