题目内容
【题目】如图,抛物线 交
轴于
两点,交
轴于点
,
.
(Ⅰ)求抛物线的解析式;
(Ⅱ)若 是抛物线的第一象限图象上一点,设点
的横坐标为m,
点 在线段
上,CD=m,当
是以
为底边的等腰三角形时,求点
的坐标;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,是否存在抛物线上一点 ,使
,若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】解:(Ⅰ) ∵当 =0时,
=4,
∴C(0,4) ,OB=4OA, CBO=45°
∴OC=OB=4, OA=1 A(-1,0) ,B(4,0)
设 , 解得:
=-1,
(Ⅱ) 设P(m,-m2+3m+4),PCD是以CD为底边的等腰三角形时,过点P作PE⊥CD于E,CD=m CE=DE,OE=4-
m,
∴4- m=-m2+3m+4 m>0 m=
∴P( ,
)
(Ⅲ)假设存在,过点P作PE⊥CD于点E,且交CB于H,过点P作PF⊥AB于F,
P( ,
)这时CD=3.5 ,D(0,0.5)
可求出直线PD的解析式: 可知直线PD 过点A(-1,0)
若设∠APQ2=∠BCP= ∠CPE=∠EPA=∠PAB=
,
CBO=
CHE= 45°,
又 CHE=
+
∴ +
=45°=
EPG =
PGF
∴PF=FG= ,OG=
-
=
∴G( ,0), 可求出直线PG的解析式:
由
解得x1 = , x2=
(舍去)
∴ Q2( ,
)
作点G关于直线AP的对称点S,
由于PD的解析式:
∴设GS的解析式: 过点G,得出
=
,
, 联立得:
,解得:
求出点K( ,
)
∵点K为SG的中点,求出S( ,
) P(
,
) ∴PS的解析式为:
∴ ,解得:
(舍去) ,
,
∴Q1( ,
)
【解析】(Ⅰ) 利用当 x =0时, y =4,可知C(0,4),结合∠ CBO=45°,得出B(4,0),利用待定系数法即可求出解析式.
(Ⅱ) 根据题意可设P(m,-m2+3m+4),利用等腰三角形的性质得解.
(Ⅲ)充分利用 ∠ PCB = ∠ APQ ,利用交点联立函数解析式为方程组,解出点Q的坐标,此小题注意不要丢情况.
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