题目内容
【题目】如图，抛物线 
交 
轴于 
两点，交 
轴于点 
， 
．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）若 
是抛物线的第一象限图象上一点，设点 的横坐标为m，
点 
在线段 
上，CD=m，当 
是以 
为底边的等腰三角形时，求点 的坐标；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在抛物线上一点 
，使 
，若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解:(Ⅰ) ∵当 
=0时, 
=4,
∴C(0,4) ，OB=4OA， 
CBO=45°
∴OC=OB=4, OA=1 A(-1,0) ，B(4,0)
设 
， 解得： 
=-1,
(Ⅱ) 设P(m,-m2+3m+4)，
PCD是以CD为底边的等腰三角形时，过点P作PE⊥CD于E，CD=m CE=DE，OE=4- 
m,
∴4- m=-m2+3m+4 m>0 m= 
∴P（ ， 
）
(Ⅲ)假设存在，过点P作PE⊥CD于点E，且交CB于H，过点P作PF⊥AB于F,
P（ ， ）这时CD=3.5 ，D(0,0.5)
可求出直线PD的解析式: 
可知直线PD 过点A(-1,0)
若设∠APQ2=∠BCP= 
∠CPE=∠EPA=∠PAB= 
， CBO= CHE= 45°,
又 CHE= +
∴ + =45°= EPG = PGF
∴PF=FG= ，OG= - = 
∴G( ,0), 可求出直线PG的解析式: 
由 
解得x1 = 
， x2= (舍去)
∴ Q2（ ， 
）
作点G关于直线AP的对称点S,
由于PD的解析式:
∴设GS的解析式： 
过点G，得出 
= 
， 
， 联立得： 
，解得：
求出点K（ 
， 
）
∵点K为SG的中点,求出S( 
, 
) P（ ， ） ∴PS的解析式为: 
∴ 
，解得: 
（舍去） ， 
，
∴Q1（ 
， 
）
【解析】(Ⅰ) 利用当 x =0时, y =4,可知C(0,4)，结合∠ CBO=45°，得出B(4,0)，利用待定系数法即可求出解析式.
(Ⅱ) 根据题意可设P(m,-m2+3m+4)，利用等腰三角形的性质得解.
(Ⅲ)充分利用 ∠ PCB = ∠ APQ ，利用交点联立函数解析式为方程组，解出点Q的坐标，此小题注意不要丢情况.
