Question

如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC=40cm，AD=30cm.从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC、AB上，高AD与HG的交点为M.

（1）求证：；
（2）求这个矩形EFGH的周长.

Answer 1

（1）根据矩形的性质可得EF∥GH，即可证得△AHG∽△ABC，从而得到结论；（2）72cm

试题分析：（1）根据矩形的性质可得EF∥GH，即可证得△AHG∽△ABC，从而得到结论；
（2）由（1）得，设HE=x，则HG=2x，AM=AD-DM=AD-HE=30-x，即可得到关于x的方程，解出x的值，在根据矩形的周长公式求解即可.
（1）∵四边形EFGH为矩形
∴EF∥GH
∴∠AHG=∠ABC
又∵∠HAG=∠BAC
∴△AHG∽△ABC
∴；  
（2）由（1）得，设HE=x，则HG=2x，
AM=AD-DM=AD-HE=30-x
可得
解得x=12，2x="24"
所以矩形EFGH的周长为2×（12+24）=72cm.
点评：相似三角形的应用是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考常见题，一般难度不大，需熟练掌握.