题目内容
【题目】如图1，点O在线段AB上，AO＝2，OB＝1，OC为射线，且∠BOC＝60，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒．
（1）当t＝
时，则OP＝ ，S△ABP＝ ；
（2）当△ABP是直角三角形时，求t的值；
（3）如图2，当AP＝AB时，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP＝∠B，求证：AQ·BP＝3．
【答案】（1）1， 
；（2）1或
；（3）证明见解析.
【解析】试题分析：（1）如答图1所示，作辅助线，利用三角函数或勾股定理求解；
（2）当△ABP是直角三角形时，有三种情形，需要分类讨论；
（3）如答图4所示，作辅助线，构造一对相似三角形△OAQ∽△PBO，利用相似关系证明结论．
试题解析：（1）1， 
（2）①∵∠A＜∠BOC＝60，∴∠A不可能是直角
②当∠ABP＝90时
∵∠BOC＝60，∴∠OPB＝30
∴OP＝2OB，即2t＝2
∴t＝1
③当∠APB＝90时
作PD⊥AB，垂足为D，则∠ADP＝∠PDB＝90
∵OP＝2t，∴OD＝t，PD＝
t，AD＝2＋t，BD＝1－t（△BOP是锐角三角形）
∴AP 2＝( 2＋t )2＋3t 2，BP 2＝( 1－t )2＋3t 2
∵AP 2＋BP 2＝AB 2，∴( 2＋t )2＋3t 2＋( 1－t )2＋3t 2＝9
即4t 2＋t－2＝0，解得t1
解得t1＝
，t2＝
（舍去）
综上，当△ABP是直角三角形时，t＝1或 
（3）
连接PQ，设AP与OQ相交于点E
∵AQ∥BP，∴∠QAP＝∠APB
∵AP＝AB，∴∠APB＝∠B
∴∠QAP＝∠B
又∵∠QOP＝∠B，∴∠QAP＝∠QOP
∵∠QEA＝∠PEO，∴△QEA∽△PEO
∴
又∵∠PEQ＝∠OEA，∴△PEQ∽△OEA
∴∠APQ＝∠AOQ
∵∠AOC＝∠AOQ＋∠QOP＝∠B＋∠BPO
∴∠AOQ＝∠BPO，
∴∠APQ＝∠BPO
∴△APQ∽△BPO，
∴
∴AQ·BP＝AP·BO＝3×1＝3
