题目内容

【题目】已知AB是半径为1的圆O直径,C是圆上一点,D是BC延长线上一点,过点D的直线交AC于E点,且AEF为等边三角形

(1)求证:DFB是等腰三角形;

(2)若DA=AF,求证:CFAB.

【答案】(1)证明详见解析;(2)证明详见解析.

【解析】

试题分析:(1)由AB是O直径,得到ACB=90°,由于AEF为等边三角形,得到CAB=EFA=60°,根据三角形的外角的性质即可得到结论;

(2)过点A作AMDF于点M,设AF=2a,根据等边三角形的性质得到FM=EM=a,AM=a,在根据已知条件得到AB=AF+BF=8a,根据直角三角形的性质得到AE=EF=AF=CE=2a,推出ECF=EFC,根据三角形的内角和即可得到结论.

试题解析:(1)AB是O直径,

∴∠ACB=90°,

∵△AEF为等边三角形,

∴∠CAB=EFA=60°,

∴∠B=30°,

∵∠EFA=B+FDB,

∴∠B=FDB=30°,

∴△DFB是等腰三角形;

(2)过点A作AMDF于点M,设AF=2a,

∵△AEF是等边三角形,FM=EM=a,AM=a,

在RtDAM中,AD=AF=a,AM=a

DM=5a,DF=BF=6a,

AB=AF+BF=8a,

在RtABC中,B=30°,ACB=90°,AC=4a,

AE=EF=AF=2a,

CE=AC﹣AE=2a,

∴∠ECF=EFC,

∵∠AEF=ECF+EFC=60°,∴∠CFE=30°,

∴∠AFC=AFE+EFC=60°+30°=90°,

CFAB.

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