Question

【题目】二次函数y=+bx+c（a＞0）的顶点为P，其图象与x轴有两个交点A（﹣m，0），B（1，0），交y轴于点C（0，﹣3am+6a），以下说法：①m=3；②当∠APB=120°时，a=；③当∠APB=120°时，抛物线上存在点M（M与P不重合），使得△ABM是顶角为120°的等腰三角形；④抛物线上存在点N，当△ABN为直角三角形时，有a≥.正确的是（ ）.

A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④

Answer 1

【答案】D.

【解析】

试题分析：①把A、B两点的坐标分别代入抛物线的解析式得到①式和a+b+c=0②式，将两式相减即可得到m=，即可得到C（0，3a﹣3b），从而得到c=3a﹣3b，代入②式可得b=2a，所以m==3，故①正确；

②∵m=3，∵A（﹣3，0），∴抛物线的解析式可设为y=a（x+3）（x﹣1），可得顶点P的坐标为（﹣1，﹣4a）．根据对称性可得PA=PB，∴∠PAB=∠PBA=30°．设抛物线的对称轴与x轴的交点为G，则有PG⊥x轴，∴PG=AGtan∠PAG=2×=，∴4a=，∴a=，故②正确；

③在第一象限内作∠MBA=120°，且满足BM=BA，过点M作MH⊥x轴于H，如图1，在Rt△MHB中，∠MBH=60°，则有MH=4sin60°=4×=，BH=4cos60°=4×=2，∴点M的坐标为（3，），当x=3时，y=（3+3）（3﹣1）=，∴点M在抛物线上，故③正确；

④∵点N在抛物线上，∴∠ABN≠90°，∠BAN≠90°．当△ABN为直角三角形时，∠ANB=90°，此时点N在以AB为直径的⊙G上，因而点N在⊙G与抛物线的交点处，要使点N存在，点P必须在⊙G上或⊙G外，如图2，则有PG≥2，即4a≥2，也即a≥，故④正确．

故选：D．