Question

已知二次函数y=ax²+bx+3的图象经过（1，）、（2，）两点，与x轴的两个交点的右边一个交点为点A，与y轴交于点B．
（1）求此二次函数的解析式并画出这个二次函数的图象；
（2）求线段AB的中垂线的函数解析式．

Answer 1

（1）y=-x²+x+3；（2）y=x-

试题分析：（1）由二次函数y=ax²+bx+3的图象经过（1，）、（2，）两点根据待定系数法即可求得函数解析式，再根据描点法即可作出函数图象；
（2）作出AB的中垂线CD，交AB于C，交x轴于D，则C（2，），连接BD，则BD=AD，设OD=x，在Rt△BOD中根据勾股定理即可列方程求得x，从而得到点D的坐标，再根据待定系数法即可求得结果.
（1）∵y=ax²+bx+3过（1，）（2，）
代入得a+b+3=
4a+2b+3=   
∴a=—1，b=   
∴ y=-x²+x+3   
画出图像如图所示：

（2）作出AB的中垂线CD，交AB于C，交x轴于D，则C（2，）
连接BD，则BD=AD，设OD="x"

在Rt△BOD中BD²=OB²+OD² 
有（4-x）²=3²+x²得x= ∴D(，0)  
由C、D两点坐标用待定系数法求k=，b=-     
∴y=x-.
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．