Question

【题目】如图（1），在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，D、E分别是AB，AC的中点．若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，如图（2），设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P．

（1）求证：BD1＝CE1；

（2）当∠CPD1＝2∠CAD1时，则旋转角为α＝　 　（直接写结果）

（3）连接PA，△PAB面积的最大值为　 　（直接写结果）

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）45°；（3）2+2．

【解析】

（1）利用旋转的性质和SAS证明△ABD1≌△ACE1即可得出结论；

（2）由（1）的结论可得∠ABD1＝∠ACE1，进而可得∠CPB＝∠BAC，问题即得解决；

（3）作PH⊥AB，交AB所在直线于点H，则D1，E1在以A为圆心，AD为半径的圆上，当BD1所在直线与⊙A相切时，直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大，此时四边形AD1PE1是正方形，利用解直角三角形的知识求出此时PH的长即可.

解：（1）∵∠CAB=∠D1AE1=90°，∴∠BAD1=∠CAE1，

又∵AB=AC，AD1=AE1，

∴△ABD1≌△ACE1（SAS），

∴BD1＝CE1；

（2）如图（2），设AC与BD1交于点G，

由（1）知△ABD1≌△ACE1，

∴∠ABD1＝∠ACE1，

∵∠AGB＝∠CGP，

∴∠CPG＝∠BAG＝90°，

∴∠CPD1＝90°，

∵∠CPD1＝2∠CAD1，

∴∠CAD1＝∠CPD1＝45°；

故答案为45°；

（3）如图3，∵AC＝AB＝4，点D，E分别是AB，AC的中点，

∴AD＝AE＝2，

由旋转知，AD1＝AE1＝AD＝2，

作PH⊥AB，交AB所在直线于点H，

∵D1，E1在以A为圆心，AD为半径的圆上，

当BD1所在直线与⊙A相切时，直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大，

此时四边形AD1PE1是正方形，PD1＝2，

则BD1═，

∴∠ABP＝30°，

∴PB＝2+2，

∴点P到AB所在直线的距离的最大值为：PH＝1+．

∴△PAB的面积最大值为AB×PH＝2+2，

故答案为2+2．