Question

如图，在平行四边形ABCD中，E是AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F，连接AC．
（1）试说明D是CF的中点．
（2）如果将平行四边形ABCD改为正方形，试判断△ACF的形状．（直接写出结果，不需要证明）

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，AB∥CD，
∴∠ABE=∠F，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△ABE和△DFE中，
，
∴△ABE≌△DFE（AAS），
∴AB=DF，
∴CD=DF，
即D是CF的中点；

（2）△ACF是等腰直角三角形．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAD=45°，AD⊥CF，
∵CD=DF，
∴AC=AF，∠FAD=∠CAD=45°，
∴∠CAF=∠CAD+∠FAD=90°，
∴△ACF是等腰直角三角形．
分析：（1）由平行四边形ABCD中，E是AD的中点，根据平行四边形的性质，易得CD=AB，易证得△ABE≌△DFE，即可证得AB=DF，继而可得D是CF的中点．
（2）由四边形ABCD是正方形，易得∠CAD=45°，AD是CF的垂直平分线，继而可得△ACF是等腰直角三角形．
点评：此题考查了平行四边形的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定、全等三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．